Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Unicode version

Theorem orvclteel 28608
Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteel.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvclteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvclteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 rexr 9656 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
54ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  e.  RR* )
6 mnflt 11358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
76ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> -oo  <  x )
8 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  <_  A )
97, 8jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) )
105, 9jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )
11 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR* )
123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
13 simprrl 765 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  -> -oo  <  x )
14 simprrr 766 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  <_  A
)
15 xrre 11395 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A
) )  ->  x  e.  RR )
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR )
1716, 14jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )
1810, 17impbida 832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) ) )
1918rabbidva2 3099 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
20 mnfxr 11348 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
213rexrd 9660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
22 iocval 11591 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo (,] A )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2320, 21, 22sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -oo (,] A
)  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2419, 23eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  ( -oo (,] A
) )
25 iocmnfcld 21402 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -oo (,] A )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
263, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -oo (,] A
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2724, 26eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
281, 2, 3, 27orrvccel 28602 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   (,]cioc 11555   topGenctg 14855   Clsdccld 19644  Probcprb 28543  rRndVarcrrv 28576  ∘RV/𝑐corvc 28591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cld 19647  df-esum 28202  df-siga 28281  df-sigagen 28312  df-brsiga 28326  df-meas 28340  df-mbfm 28395  df-prob 28544  df-rrv 28577  df-orvc 28592
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  28610  dstfrvinc  28612  dstfrvclim1  28613
  Copyright terms: Public domain W3C validator