Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Unicode version

Theorem orvclteel 28037
Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteel.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvclteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvclteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 rexr 9628 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
54ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  e.  RR* )
6 mnflt 11322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
76ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> -oo  <  x )
8 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  <_  A )
97, 8jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) )
105, 9jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )
11 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR* )
123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
13 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  -> -oo  <  x )
14 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  <_  A
)
15 xrre 11359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A
) )  ->  x  e.  RR )
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR )
1716, 14jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )
1810, 17impbida 829 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) ) )
1918rabbidva2 3096 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
20 mnfxr 11312 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
213rexrd 9632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
22 iocval 11555 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo (,] A )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2320, 21, 22sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -oo (,] A
)  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2419, 23eqtr4d 2504 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  ( -oo (,] A
) )
25 iocmnfcld 21004 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -oo (,] A )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
263, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -oo (,] A
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2724, 26eqeltrd 2548 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
281, 2, 3, 27orrvccel 28031 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   (,)cioo 11518   (,]cioc 11519   topGenctg 14682   Clsdccld 19276  Probcprb 27972  rRndVarcrrv 28005  ∘RV/𝑐corvc 28020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-cld 19279  df-esum 27667  df-siga 27734  df-sigagen 27765  df-brsiga 27779  df-meas 27793  df-mbfm 27848  df-prob 27973  df-rrv 28006  df-orvc 28021
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  28039  dstfrvinc  28041  dstfrvclim1  28042
  Copyright terms: Public domain W3C validator