Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvclteel Structured version   Unicode version

Theorem orvclteel 26855
Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
dstfrv.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvclteel.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvclteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )

Proof of Theorem orvclteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dstfrv.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 dstfrv.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvclteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 rexr 9429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
54ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  e.  RR* )
6 mnflt 11104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  -> -oo  <  x )
76ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> -oo  <  x )
8 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  ->  x  <_  A )
97, 8jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) )
105, 9jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )
11 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR* )
123adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
13 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  -> -oo  <  x )
14 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  <_  A
)
15 xrre 11141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A
) )  ->  x  e.  RR )
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  x  e.  RR )
1716, 14jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  <_  A ) )
1810, 17impbida 828 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) ) ) )
1918rabbidva2 2962 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
20 mnfxr 11094 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
213rexrd 9433 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
22 iocval 11337 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( -oo (,] A )  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2320, 21, 22sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -oo (,] A
)  =  { x  e.  RR*  |  ( -oo  <  x  /\  x  <_  A ) } )
2419, 23eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  =  ( -oo (,] A
) )
25 iocmnfcld 20348 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -oo (,] A )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
263, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -oo (,] A
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2724, 26eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
281, 2, 3, 27orrvccel 26849 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐  <_  A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   (,)cioo 11300   (,]cioc 11301   topGenctg 14376   Clsdccld 18620  Probcprb 26790  rRndVarcrrv 26823  ∘RV/𝑐corvc 26838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-ac2 8632  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-cld 18623  df-esum 26484  df-siga 26551  df-sigagen 26582  df-brsiga 26596  df-meas 26610  df-mbfm 26666  df-prob 26791  df-rrv 26824  df-orvc 26839
This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  26857  dstfrvinc  26859  dstfrvclim1  26860
  Copyright terms: Public domain W3C validator