Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Unicode version

Theorem orvcgteel 28581
Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orvcgteel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvcgteel.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvcgteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 `'  <_  A )  e. 
dom  P )

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 orvcgteel.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvcgteel.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
53adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6 brcnvg 5193 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x `'  <_  A  <-> 
A  <_  x )
)
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x `'  <_  A  <->  A  <_  x ) )
87pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x `' 
<_  A )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) ) )
9 rexr 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
109ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
11 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  ->  A  <_  x )
12 ltpnf 11356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
1312ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  ->  x  < +oo )
1411, 13jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  -> 
( A  <_  x  /\  x  < +oo )
)
1510, 14jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo )
) )
16 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  x  e.  RR* )
173adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  A  e.  RR )
18 simprrl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  A  <_  x
)
19 simprrr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  x  < +oo )
20 xrre3 11397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) )  ->  x  e.  RR )
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
2221, 18jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )
2315, 22impbida 832 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) ) )
248, 23bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x `' 
<_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) ) )
2524rabbidva2 3099 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x `'  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) } )
263rexrd 9660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
27 pnfxr 11346 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
28 icoval 11592 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A [,) +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) } )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,) +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) } )
3025, 29eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x `'  <_  A }  =  ( A [,) +oo ) )
31 icopnfcld 21400 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
323, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3330, 32eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x `'  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
341, 2, 3, 33orrvccel 28580 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 `'  <_  A )  e. 
dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   topGenctg 14854   Clsdccld 19643  Probcprb 28521  rRndVarcrrv 28554  ∘RV/𝑐corvc 28569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-topgen 14860  df-top 19525  df-bases 19527  df-cld 19646  df-esum 28194  df-siga 28269  df-sigagen 28300  df-brsiga 28314  df-meas 28328  df-mbfm 28383  df-prob 28522  df-rrv 28555  df-orvc 28570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator