Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orvcgteel Structured version   Unicode version

Theorem orvcgteel 28074
Description: Preimage maps produced by the "greater than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orvcgteel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orvcgteel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orvcgteel.3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
orvcgteel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 `'  <_  A )  e. 
dom  P )

Proof of Theorem orvcgteel
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orvcgteel.1 . 2  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 orvcgteel.2 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
3 orvcgteel.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
53adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
6 brcnvg 5183 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x `'  <_  A  <-> 
A  <_  x )
)
74, 5, 6syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( x `'  <_  A  <->  A  <_  x ) )
87pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x `' 
<_  A )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) ) )
9 rexr 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
109ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  ->  x  e.  RR* )
11 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  ->  A  <_  x )
12 ltpnf 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
1312ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  ->  x  < +oo )
1411, 13jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  -> 
( A  <_  x  /\  x  < +oo )
)
1510, 14jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo )
) )
16 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  x  e.  RR* )
173adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  A  e.  RR )
18 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  A  <_  x
)
19 simprrr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  x  < +oo )
20 xrre3 11372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) )  ->  x  e.  RR )
2116, 17, 18, 19, 20syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
2221, 18jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x ) )
2315, 22impbida 830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A  <_  x )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) ) )
248, 23bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x `' 
<_  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) ) ) )
2524rabbidva2 3103 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x `'  <_  A }  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) } )
263rexrd 9643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
27 pnfxr 11321 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
28 icoval 11567 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A [,) +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) } )
2926, 27, 28sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,) +oo )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  < +oo ) } )
3025, 29eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x `'  <_  A }  =  ( A [,) +oo ) )
31 icopnfcld 21038 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
323, 31syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3330, 32eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  x `'  <_  A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
341, 2, 3, 33orrvccel 28073 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 `'  <_  A )  e. 
dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   (,)cioo 11529   [,)cico 11531   topGenctg 14693   Clsdccld 19311  Probcprb 28014  rRndVarcrrv 28047  ∘RV/𝑐corvc 28062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-ac 8497  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-cld 19314  df-esum 27709  df-siga 27776  df-sigagen 27807  df-brsiga 27821  df-meas 27835  df-mbfm 27890  df-prob 28015  df-rrv 28048  df-orvc 28063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator