HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  orthin Structured version   Unicode version

Theorem orthin 26491
Description: The intersection of orthogonal subspaces is the zero subspace. (Contributed by NM, 24-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
orthin  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )

Proof of Theorem orthin
StepHypRef Expression
1 ssrin 3719 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  (
( _|_ `  B
)  i^i  B )
)
2 incom 3687 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( _|_ `  B ) )
31, 2syl6sseq 3545 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) ) )
4 ocin 26341 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  =  0H )
54sseq2d 3527 . . . . 5  |-  ( B  e.  SH  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( B  i^i  ( _|_ `  B
) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
63, 5syl5ib 219 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B
)  ->  ( A  i^i  B )  C_  0H ) )
76adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  0H )
)
8 shincl 26426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  SH )
9 sh0le 26485 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  SH  ->  0H  C_  ( A  i^i  B
) )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  0H  C_  ( A  i^i  B ) )
117, 10jctird 544 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B
) ) ) )
12 eqss 3514 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  0H  <->  ( ( A  i^i  B )  C_  0H  /\  0H  C_  ( A  i^i  B ) ) )
1311, 12syl6ibr 227 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  C_  ( _|_ `  B )  -> 
( A  i^i  B
)  =  0H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ` cfv 5594   SHcsh 25972   _|_cort 25974   0Hc0h 25979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hv0cl 26047  ax-hfvmul 26049  ax-hvmul0 26054  ax-hfi 26123  ax-his2 26127  ax-his3 26128  ax-his4 26129
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-nn 10557  df-hlim 26016  df-sh 26251  df-ch 26266  df-oc 26297  df-ch0 26298
This theorem is referenced by:  atomli  27428  chirredlem3  27438
  Copyright terms: Public domain W3C validator