Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvcval4 Structured version   Unicode version

Theorem orrvcval4 26846
Description: The value of the preimage mapping operator can be restricted to preimages of subsets of RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orrvccel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orrvccel.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
orrvcval4  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  =  ( `' X " { y  e.  RR  |  y R A } ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)    V( y)

Proof of Theorem orrvcval4
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 domprobsiga 26793 . . . 4  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  P  e.  U. ran sigAlgebra )
4 retop 20339 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
6 orrvccel.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
71rrvmbfm 26824 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (rRndVar `  P )  <->  X  e.  ( dom  PMblFnM𝔅 ) ) )
86, 7mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM𝔅 ) )
9 df-brsiga 26595 . . . . 5  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
109oveq2i 6101 . . . 4  |-  ( dom 
PMblFnM𝔅 )  =  ( dom  PMblFnM (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
118, 10syl6eleq 2532 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) ) )
12 orrvccel.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
133, 5, 11, 12orvcval4 26842 . 2  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  =  ( `' X " { y  e.  U. ( topGen ` 
ran  (,) )  |  y R A } ) )
14 uniretop 20340 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
15 rabeq 2965 . . . 4  |-  ( RR  =  U. ( topGen ` 
ran  (,) )  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A } )
1614, 15ax-mp 5 . . 3  |-  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }
1716imaeq2i 5166 . 2  |-  ( `' X " { y  e.  RR  |  y R A } )  =  ( `' X " { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A } )
1813, 17syl6eqr 2492 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  =  ( `' X " { y  e.  RR  |  y R A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2718   U.cuni 4090   class class class wbr 4291   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280   (,)cioo 11299   topGenctg 14375   Topctop 18497  sigAlgebracsiga 26549  sigaGencsigagen 26580  𝔅cbrsiga 26594  MblFnMcmbfm 26664  Probcprb 26789  rRndVarcrrv 26822  ∘RV/𝑐corvc 26837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-ioo 11303  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-esum 26483  df-siga 26550  df-sigagen 26581  df-brsiga 26595  df-meas 26609  df-mbfm 26665  df-prob 26790  df-rrv 26823  df-orvc 26838
This theorem is referenced by:  orvcelval  26850  dstfrvel  26855  orvclteinc  26857
  Copyright terms: Public domain W3C validator