Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Unicode version

Theorem orrvccel 26986
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orrvccel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orrvccel.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
orrvccel.5  |-  ( ph  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
Assertion
Ref Expression
orrvccel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  e.  dom  P )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)    V( y)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 domprobsiga 26931 . . 3  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  P  e.  U. ran sigAlgebra )
4 retop 20465 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
6 orrvccel.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
71rrvmbfm 26962 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (rRndVar `  P )  <->  X  e.  ( dom  PMblFnM𝔅 ) ) )
86, 7mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM𝔅 ) )
9 df-brsiga 26734 . . . 4  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
109oveq2i 6204 . . 3  |-  ( dom 
PMblFnM𝔅 )  =  ( dom  PMblFnM (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
118, 10syl6eleq 2549 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) ) )
12 orrvccel.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
13 uniretop 20466 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
14 rabeq 3065 . . . 4  |-  ( RR  =  U. ( topGen ` 
ran  (,) )  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A } )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }
16 orrvccel.5 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
1715, 16syl5eqelr 2544 . 2  |-  ( ph  ->  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
183, 5, 11, 12, 17orvccel 26982 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   U.cuni 4192   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385   (,)cioo 11404   topGenctg 14487   Topctop 18623   Clsdccld 18745  sigAlgebracsiga 26688  sigaGencsigagen 26719  𝔅cbrsiga 26733  MblFnMcmbfm 26802  Probcprb 26927  rRndVarcrrv 26960  ∘RV/𝑐corvc 26975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-ac2 8736  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-ac 8390  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-ioo 11408  df-topgen 14493  df-top 18628  df-bases 18630  df-cld 18748  df-esum 26622  df-siga 26689  df-sigagen 26720  df-brsiga 26734  df-meas 26748  df-mbfm 26803  df-prob 26928  df-rrv 26961  df-orvc 26976
This theorem is referenced by:  orvcgteel  26987  orvclteel  26992
  Copyright terms: Public domain W3C validator