Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvccel Structured version   Unicode version

Theorem orrvccel 28602
Description: If the relation produces closed sets, preimage maps are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
orrvccel.2  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
orrvccel.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
orrvccel.5  |-  ( ph  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
Assertion
Ref Expression
orrvccel  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  e.  dom  P )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)    V( y)

Proof of Theorem orrvccel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e. Prob )
2 domprobsiga 28547 . . 3  |-  ( P  e. Prob  ->  dom  P  e.  U.
ran sigAlgebra )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  P  e.  U. ran sigAlgebra )
4 retop 21394 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )
6 orrvccel.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  (rRndVar `  P
) )
71rrvmbfm 28578 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  (rRndVar `  P )  <->  X  e.  ( dom  PMblFnM𝔅 ) ) )
86, 7mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM𝔅 ) )
9 df-brsiga 28326 . . . 4  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
109oveq2i 6307 . . 3  |-  ( dom 
PMblFnM𝔅 )  =  ( dom  PMblFnM (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
118, 10syl6eleq 2555 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( dom 
PMblFnM (sigaGen `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) ) )
12 orrvccel.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
13 uniretop 21395 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
14 rabeq 3103 . . . 4  |-  ( RR  =  U. ( topGen ` 
ran  (,) )  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A } )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  { y  e.  RR  |  y R A }  =  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }
16 orrvccel.5 . . 3  |-  ( ph  ->  { y  e.  RR  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
1715, 16syl5eqelr 2550 . 2  |-  ( ph  ->  { y  e.  U. ( topGen `  ran  (,) )  |  y R A }  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
183, 5, 11, 12, 17orvccel 28598 1  |-  ( ph  ->  ( XRV/𝑐 R A )  e.  dom  P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   (,)cioo 11554   topGenctg 14855   Topctop 19521   Clsdccld 19644  sigAlgebracsiga 28280  sigaGencsigagen 28311  𝔅cbrsiga 28325  MblFnMcmbfm 28394  Probcprb 28543  rRndVarcrrv 28576  ∘RV/𝑐corvc 28591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-ac 8514  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-ioo 11558  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-cld 19647  df-esum 28202  df-siga 28281  df-sigagen 28312  df-brsiga 28326  df-meas 28340  df-mbfm 28395  df-prob 28544  df-rrv 28577  df-orvc 28592
This theorem is referenced by:  orvcgteel  28603  orvclteel  28608
  Copyright terms: Public domain W3C validator