Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmullt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem orngrmullt 28645
 Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b
ornglmullt.t
ornglmullt.0
ornglmullt.1 oRing
ornglmullt.2
ornglmullt.3
ornglmullt.4
ornglmullt.l
ornglmullt.d
ornglmullt.5
ornglmullt.6
Assertion
Ref Expression
orngrmullt

Proof of Theorem orngrmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3
2 ornglmullt.t . . 3
3 ornglmullt.0 . . 3
4 ornglmullt.1 . . 3 oRing
5 ornglmullt.2 . . 3
6 ornglmullt.3 . . 3
7 ornglmullt.4 . . 3
8 eqid 2471 . . 3
9 ornglmullt.5 . . . 4
10 ornglmullt.l . . . . . 6
118, 10pltle 16285 . . . . 5 oRing
1211imp 436 . . . 4 oRing
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1295 . . 3
14 orngring 28637 . . . . . 6 oRing
154, 14syl 17 . . . . 5
16 ringgrp 17863 . . . . 5
171, 3grpidcl 16772 . . . . 5
1815, 16, 173syl 18 . . . 4
19 ornglmullt.6 . . . 4
208, 10pltle 16285 . . . . 5 oRing
2120imp 436 . . . 4 oRing
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1295 . . 3
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22orngrmulle 28643 . 2
24 simpr 468 . . . . . 6
2524oveq1d 6323 . . . . 5 /r /r
26 ornglmullt.d . . . . . . . 8
2710pltne 16286 . . . . . . . . . . 11 oRing
2827imp 436 . . . . . . . . . 10 oRing
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1295 . . . . . . . . 9
3029necomd 2698 . . . . . . . 8
31 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
321, 31, 3drngunit 18058 . . . . . . . . 9 Unit
3332biimpar 493 . . . . . . . 8 Unit
3426, 7, 30, 33syl12anc 1290 . . . . . . 7 Unit
35 eqid 2471 . . . . . . . 8 /r /r
361, 31, 35, 2dvrcan3 17998 . . . . . . 7 Unit /r
3715, 5, 34, 36syl3anc 1292 . . . . . 6 /r
3837adantr 472 . . . . 5 /r
391, 31, 35, 2dvrcan3 17998 . . . . . . 7 Unit /r
4015, 6, 34, 39syl3anc 1292 . . . . . 6 /r
4140adantr 472 . . . . 5 /r
4225, 38, 413eqtr3d 2513 . . . 4
4310pltne 16286 . . . . . . . 8 oRing
4443imp 436 . . . . . . 7 oRing
454, 5, 6, 9, 44syl31anc 1295 . . . . . 6
4645adantr 472 . . . . 5
4746neneqd 2648 . . . 4
4842, 47pm2.65da 586 . . 3
4948neqned 2650 . 2
501, 2ringcl 17872 . . . 4
5115, 5, 7, 50syl3anc 1292 . . 3
521, 2ringcl 17872 . . . 4
5315, 6, 7, 52syl3anc 1292 . . 3
548, 10pltval 16284 . . 3 oRing
554, 51, 53, 54syl3anc 1292 . 2
5623, 49, 55mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199  cmulr 15269  cple 15275  c0g 15416  cplt 16264  cgrp 16747  crg 17858  Unitcui 17945  /rcdvr 17988  cdr 18053  oRingcorng 28632 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-plt 16282  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-omnd 28536  df-ogrp 28537  df-orng 28634 This theorem is referenced by:  isarchiofld  28654
 Copyright terms: Public domain W3C validator