Theorem ordunisuc2 6615

Description: An ordinal equal to its union contains the successor of each of its members. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisuc2	|- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem ordunisuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduninsuc 6614	. 2 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x ) )
2		ralnex 2847	. . 3 |- ( A. x e. On -. A = suc x <-> -. E. x e. On A = suc x )
3		suceloni 6584	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> suc x e. On )
4		eloni 4829	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. On -> Ord suc x )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. On -> Ord suc x )
6		ordtri3 4855	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ Ord suc x ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
7	5, 6	sylan2 472	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
8	7	con2bid 327	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> -. A = suc x ) )
9		onnbtwn 4910	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
10		imnan 420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> -. A e. suc x ) <-> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
11	9, 10	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( x e. A -> -. A e. suc x ) )
12	11	con2d 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> -. x e. A ) )
13		pm2.21 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
14	12, 13	syl6 31	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
15	14	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
18	15, 17	jaod 378	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
19		eloni 4829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtri2or 4914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord x /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
21	19, 20	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
22	21	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
23	22	orcomd 386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
24	23	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
25		ordsssuc2 4907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x <-> A e. suc x ) )
26	25	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
27	26	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
28		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
29	27, 28	orim12d 837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( A C_ x \/ x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
30	24, 29	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) )
31	30	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
32	18, 31	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
33	8, 32	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( -. A = suc x <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
34	33	pm5.74da 685	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) )
35		impexp 444	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
36		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ x e. A ) -> x e. A )
37		ordelon 4843	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x e. On )
38	37	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( x e. A -> x e. On ) )
39	38	ancrd 552	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> ( x e. A -> ( x e. On /\ x e. A ) ) )
40	36, 39	impbid2 204	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( ( x e. On /\ x e. A ) <-> x e. A ) )
41	40	imbi1d 315	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
42	35, 41	syl5bbr 259	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
43	34, 42	bitrd 253	. . . 4 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
44	43	ralbidv2 2836	. . 3 |- ( Ord A -> ( A. x e. On -. A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
45	2, 44	syl5bbr 259	. 2 |- ( Ord A -> ( -. E. x e. On A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
46	1, 45	bitrd 253	1 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1403   e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752   C_ wss 3411   U.cuni 4188   Ord word 4818   Oncon0 4819   suc csuc 4821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4627  ax-un 6528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-suc 4825

This theorem is referenced by:  dflim4  6619  limsuc2  35312