Theorem ordunisuc2 6703

Description: An ordinal equal to its union contains the successor of each of its members. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisuc2	|- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem ordunisuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduninsuc 6702	. 2 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x ) )
2		ralnex 2846	. . 3 |- ( A. x e. On -. A = suc x <-> -. E. x e. On A = suc x )
3		suceloni 6672	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> suc x e. On )
4		eloni 5456	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. On -> Ord suc x )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. On -> Ord suc x )
6		ordtri3 5482	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ Ord suc x ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
7	5, 6	sylan2 481	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
8	7	con2bid 335	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> -. A = suc x ) )
9		onnbtwn 5537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
10		imnan 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> -. A e. suc x ) <-> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
11	9, 10	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( x e. A -> -. A e. suc x ) )
12	11	con2d 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> -. x e. A ) )
13		pm2.21 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
14	12, 13	syl6 34	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
15	14	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
18	15, 17	jaod 386	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
19		eloni 5456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtri2or 5541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord x /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
21	19, 20	sylan 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
22	21	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
23	22	orcomd 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
24	23	adantr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
25		ordsssuc2 5534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x <-> A e. suc x ) )
26	25	biimpd 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
27	26	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
28		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
29	27, 28	orim12d 854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( A C_ x \/ x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
30	24, 29	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) )
31	30	ex 440	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
32	18, 31	impbid 195	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
33	8, 32	bitr3d 263	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( -. A = suc x <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
34	33	pm5.74da 698	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) )
35		impexp 452	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
36		simpr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ x e. A ) -> x e. A )
37		ordelon 5470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x e. On )
38	37	ex 440	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( x e. A -> x e. On ) )
39	38	ancrd 561	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> ( x e. A -> ( x e. On /\ x e. A ) ) )
40	36, 39	impbid2 209	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( ( x e. On /\ x e. A ) <-> x e. A ) )
41	40	imbi1d 323	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
42	35, 41	syl5bbr 267	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
43	34, 42	bitrd 261	. . . 4 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
44	43	ralbidv2 2835	. . 3 |- ( Ord A -> ( A. x e. On -. A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
45	2, 44	syl5bbr 267	. 2 |- ( Ord A -> ( -. E. x e. On A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
46	1, 45	bitrd 261	1 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   C_ wss 3416   U.cuni 4212   Ord word 5445   Oncon0 5446   suc csuc 5448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-ord 5449  df-on 5450  df-suc 5452

This theorem is referenced by:  dflim4  6707  limsuc2  35945