Theorem ordunisuc2 6460

Description: An ordinal equal to its union contains the successor of each of its members. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ordunisuc2	|- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem ordunisuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orduninsuc 6459	. 2 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> -. E. x e. On A = suc x ) )
2		ralnex 2730	. . 3 |- ( A. x e. On -. A = suc x <-> -. E. x e. On A = suc x )
3		suceloni 6429	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> suc x e. On )
4		eloni 4734	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. On -> Ord suc x )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( x e. On -> Ord suc x )
6		ordtri3 4760	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ Ord suc x ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
7	5, 6	sylan2 474	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A = suc x <-> -. ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
8	7	con2bid 329	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> -. A = suc x ) )
9		onnbtwn 4815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
10		imnan 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A -> -. A e. suc x ) <-> -. ( x e. A /\ A e. suc x ) )
11	9, 10	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( x e. A -> -. A e. suc x ) )
12	11	con2d 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> -. x e. A ) )
13		pm2.21 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
14	12, 13	syl6 33	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A e. suc x -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( suc x e. A -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
18	15, 17	jaod 380	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
19		eloni 4734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On -> Ord x )
20		ordtri2or 4819	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord x /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
21	19, 20	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ Ord A ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
22	21	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( x e. A \/ A C_ x ) )
23	22	orcomd 388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x \/ x e. A ) )
25		ordsssuc2 4812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x <-> A e. suc x ) )
26	25	biimpd 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A C_ x -> A e. suc x ) )
28		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( x e. A -> suc x e. A ) )
29	27, 28	orim12d 834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( ( A C_ x \/ x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
30	24, 29	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. On ) /\ ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) )
31	30	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( x e. A -> suc x e. A ) -> ( A e. suc x \/ suc x e. A ) ) )
32	18, 31	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( ( A e. suc x \/ suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
33	8, 32	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ x e. On ) -> ( -. A = suc x <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
34	33	pm5.74da 687	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) )
35		impexp 446	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
36		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ x e. A ) -> x e. A )
37		ordelon 4748	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> x e. On )
38	37	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( Ord A -> ( x e. A -> x e. On ) )
39	38	ancrd 554	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> ( x e. A -> ( x e. On /\ x e. A ) ) )
40	36, 39	impbid2 204	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( ( x e. On /\ x e. A ) <-> x e. A ) )
41	40	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( ( ( x e. On /\ x e. A ) -> suc x e. A ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
42	35, 41	syl5bbr 259	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> ( x e. A -> suc x e. A ) ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
43	34, 42	bitrd 253	. . . 4 |- ( Ord A -> ( ( x e. On -> -. A = suc x ) <-> ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
44	43	ralbidv2 2742	. . 3 |- ( Ord A -> ( A. x e. On -. A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
45	2, 44	syl5bbr 259	. 2 |- ( Ord A -> ( -. E. x e. On A = suc x <-> A. x e. A suc x e. A ) )
46	1, 45	bitrd 253	1 |- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   C_ wss 3333   U.cuni 4096   Ord word 4723   Oncon0 4724   suc csuc 4726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536  ax-un 6377

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-suc 4730

This theorem is referenced by:  dflim4  6464  limsuc2  29398