Theorem ordunidif 4878

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> U. ( A \ B ) = U. A )

Proof of Theorem ordunidif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 4854	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )
2		onelss 4872	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( x e. B -> x C_ B ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( x e. B -> x C_ B ) )
4		eloni 4840	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> Ord B )
5		ordirr 4848	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord B -> -. B e. B )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> -. B e. B )
7		eldif 3449	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( A \ B ) <-> ( B e. A /\ -. B e. B ) )
8	7	simplbi2 625	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. A -> ( -. B e. B -> B e. ( A \ B ) ) )
9	6, 8	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( B e. A -> ( B e. On -> B e. ( A \ B ) ) )
10	9	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( B e. On -> B e. ( A \ B ) ) )
11	1, 10	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
12	3, 11	jctild 543	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( x e. B -> ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) ) )
13	12	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( x e. B -> ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) ) )
14		sseq2 3489	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( x C_ y <-> x C_ B ) )
15	14	rspcev 3179	. . . . 5 |- ( ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
16	13, 15	syl6 33	. . . 4 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
17		eldif 3449	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> x e. ( A \ B ) )
19		ssid 3486	. . . . . . . 8 |- x C_ x
20	18, 19	jctir 538	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) )
21	20	ex 434	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( -. x e. B -> ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) ) )
22		sseq2 3489	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( x C_ y <-> x C_ x ) )
23	22	rspcev 3179	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
24	21, 23	syl6 33	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( -. x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
25	24	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( -. x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
26	16, 25	pm2.61d 158	. . 3 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
27	26	ralrimiva 2830	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
28		unidif 4236	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )
29	27, 28	syl 16	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> U. ( A \ B ) = U. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   \ cdif 3436   C_ wss 3439   U.cuni 4202   Ord word 4829   Oncon0 4830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834

This theorem is referenced by: (None)