Theorem ordunidif 3712

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed.

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Proof of Theorem ordunidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 3682	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		onelss 3705	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (x e. B -> x C_ B))
3	1, 2	syl 12	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> x C_ B))
4		eldif 2609	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. (A \ B) <-> (B e. A /\ -. B e. B))
5	4	simplbi2 466	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> (-. B e. B -> B e. (A \ B)))
6		eloni 3667	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. On -> Ord B)
7		ordirr 3676	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord B -> -. B e. B)
8	6, 7	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> -. B e. B)
9	5, 8	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
10	9	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
11	1, 10	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. (A \ B))
12	3, 11	jctild 662	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x C_ B)))
13	12	adantr 425	. . . . 5 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x C_ B)))
14		sseq2 2639	. . . . . 6 |- (y = B -> (x C_ y <-> x C_ B))
15	14	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- ((B e. (A \ B) /\ x C_ B) -> E.y e. (A \ B)x C_ y)
16	13, 15	syl6 25	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> E.y e. (A \ B)x C_ y))
17		eldif 2609	. . . . . . . . 9 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
18	17	biimpri 169	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> x e. (A \ B))
19		ssid 2634	. . . . . . . 8 |- x C_ x
20	18, 19	jctir 317	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. (A \ B) /\ x C_ x))
21	20	ex 402	. . . . . 6 |- (x e. A -> (-. x e. B -> (x e. (A \ B) /\ x C_ x)))
22		sseq2 2639	. . . . . . 7 |- (y = x -> (x C_ y <-> x C_ x))
23	22	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((x e. (A \ B) /\ x C_ x) -> E.y e. (A \ B)x C_ y)
24	21, 23	syl6 25	. . . . 5 |- (x e. A -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x C_ y))
25	24	adantl 424	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x C_ y))
26	16, 25	pm2.61d 141	. . 3 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> E.y e. (A \ B)x C_ y)
27	26	r19.21aiva 2176	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A.x e. A E.y e. (A \ B)x C_ y)
28		unidif 3210	. 2 |- (A.x e. A E.y e. (A \ B)x C_ y -> U.(A \ B) = U.A)
29	27, 28	syl 12	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   \ cdif 2590   C_ wss 2593  U.cuni 3177  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain