Theorem ordunidif 3062

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed.

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Proof of Theorem ordunidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 3028	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		onelss 3057	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (x e. B -> x (_ B))
3	1, 2	syl 10	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> x (_ B))
4		eldif 2108	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. (A \ B) <-> (B e. A /\ -. B e. B))
5	4	biimpri 159	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. A /\ -. B e. B) -> B e. (A \ B))
6	5	ex 380	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> (-. B e. B -> B e. (A \ B)))
7		eloni 3015	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. On -> Ord B)
8		ordirr 3023	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord B -> -. B e. B)
9	7, 8	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> -. B e. B)
10	6, 9	syl5 21	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
11	10	adantl 397	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On -> B e. (A \ B)))
12	1, 11	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. (A \ B))
13	3, 12	jctild 612	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
14	13	adantr 398	. . . . 5 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> (B e. (A \ B) /\ x (_ B)))
15		sseq2 2134	. . . . . 6 |- (y = B -> (x (_ y <-> x (_ B))
16	15	rcla4ev 1924	. . . . 5 |- ((B e. (A \ B) /\ x (_ B) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
17	14, 16	syl6 22	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
18		eldif 2108	. . . . . . . . 9 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
19	18	biimpri 159	. . . . . . . 8 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> x e. (A \ B))
20		ssid 2131	. . . . . . . 8 |- x (_ x
21	19, 20	jctir 300	. . . . . . 7 |- ((x e. A /\ -. x e. B) -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x))
22	21	ex 380	. . . . . 6 |- (x e. A -> (-. x e. B -> (x e. (A \ B) /\ x (_ x)))
23		sseq2 2134	. . . . . . 7 |- (y = x -> (x (_ y <-> x (_ x))
24	23	rcla4ev 1924	. . . . . 6 |- ((x e. (A \ B) /\ x (_ x) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
25	22, 24	syl6 22	. . . . 5 |- (x e. A -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
26	25	adantl 397	. . . 4 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> (-. x e. B -> E.y e. (A \ B)x (_ y))
27	17, 26	pm2.61d 133	. . 3 |- (((Ord A /\ B e. A) /\ x e. A) -> E.y e. (A \ B)x (_ y)
28	27	r19.21aiva 1761	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y)
29		unidif 2584	. 2 |- (A.x e. A E.y e. (A \ B)x (_ y -> U.(A \ B) = U.A)
30	28, 29	syl 10	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> U.(A \ B) = U.A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692  E.wrex 1693   \ cdif 2095   (_ wss 2098  U.cuni 2557  Ord word 3004  Oncon0 3005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009

Copyright terms: Public domain