Theorem ordunidif 5471

Description: The union of an ordinal stays the same if a subset equal to one of its elements is removed. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordunidif	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> U. ( A \ B ) = U. A )

Proof of Theorem ordunidif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 5447	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )
2		onelss 5465	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( x e. B -> x C_ B ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( x e. B -> x C_ B ) )
4		eloni 5433	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. On -> Ord B )
5		ordirr 5441	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord B -> -. B e. B )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> -. B e. B )
7		eldif 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( A \ B ) <-> ( B e. A /\ -. B e. B ) )
8	7	simplbi2 631	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. A -> ( -. B e. B -> B e. ( A \ B ) ) )
9	6, 8	syl5 33	. . . . . . . . 9 |- ( B e. A -> ( B e. On -> B e. ( A \ B ) ) )
10	9	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( B e. On -> B e. ( A \ B ) ) )
11	1, 10	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. ( A \ B ) )
12	3, 11	jctild 546	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( x e. B -> ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) ) )
13	12	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( x e. B -> ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) ) )
14		sseq2 3454	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( x C_ y <-> x C_ B ) )
15	14	rspcev 3150	. . . . 5 |- ( ( B e. ( A \ B ) /\ x C_ B ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
16	13, 15	syl6 34	. . . 4 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
17		eldif 3414	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
18	17	biimpri 210	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> x e. ( A \ B ) )
19		ssid 3451	. . . . . . . 8 |- x C_ x
20	18, 19	jctir 541	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) )
21	20	ex 436	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( -. x e. B -> ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) ) )
22		sseq2 3454	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( x C_ y <-> x C_ x ) )
23	22	rspcev 3150	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x C_ x ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
24	21, 23	syl6 34	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( -. x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
25	24	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> ( -. x e. B -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y ) )
26	16, 25	pm2.61d 162	. . 3 |- ( ( ( Ord A /\ B e. A ) /\ x e. A ) -> E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
27	26	ralrimiva 2802	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y )
28		unidif 4231	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) x C_ y -> U. ( A \ B ) = U. A )
29	27, 28	syl 17	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> U. ( A \ B ) = U. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   \ cdif 3401   C_ wss 3404   U.cuni 4198   Ord word 5422   Oncon0 5423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-ord 5426  df-on 5427

This theorem is referenced by: (None)