Theorem ordunel 3906

Description: The maximum of two ordinals belongs to a third if each of them do.

Assertion

Ref	Expression
ordunel	|- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. A)

Proof of Theorem ordunel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucss 3899	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A -> suc B C_ A))
2		ordsucss 3899	. . . 4 |- (Ord A -> (C e. A -> suc C C_ A))
3	1, 2	anim12d 617	. . 3 |- (Ord A -> ((B e. A /\ C e. A) -> (suc B C_ A /\ suc C C_ A)))
4	3	3impib 1065	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (suc B C_ A /\ suc C C_ A))
5		ordelord 3680	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)
6	5	3adant3 896	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord B)
7		ordelord 3680	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ C e. A) -> Ord C)
8	7	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord C)
9		ordsucun 3905	. . . . . . 7 |- ((Ord B /\ Ord C) -> suc (B u. C) = (suc B u. suc C))
10	6, 8, 9	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> suc (B u. C) = (suc B u. suc C))
11	10	sseq1d 2644	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (suc (B u. C) C_ A <-> (suc B u. suc C) C_ A))
12	11	biimprd 171	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B u. suc C) C_ A -> suc (B u. C) C_ A))
13		unexg 3798	. . . . . 6 |- ((B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. _V)
14	13	3adant1 894	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. _V)
15		simp1 876	. . . . 5 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> Ord A)
16		ordelsuc 3900	. . . . 5 |- (((B u. C) e. _V /\ Ord A) -> ((B u. C) e. A <-> suc (B u. C) C_ A))
17	14, 15, 16	syl11anc 524	. . . 4 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((B u. C) e. A <-> suc (B u. C) C_ A))
18	12, 17	sylibrd 221	. . 3 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B u. suc C) C_ A -> (B u. C) e. A))
19		unss 2780	. . 3 |- ((suc B C_ A /\ suc C C_ A) <-> (suc B u. suc C) C_ A)
20	18, 19	syl5ib 223	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> ((suc B C_ A /\ suc C C_ A) -> (B u. C) e. A))
21	4, 20	mpd 29	1 |- ((Ord A /\ B e. A /\ C e. A) -> (B u. C) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591   C_ wss 2593  Ord word 3656  suc csuc 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain