Theorem ordun 3771

Description: The maximum (i.e. union) of two ordinals is ordinal. Exercise 12 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ordun	|- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))

Proof of Theorem ordun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- (A u. B) = (A u. B)
2		ordequn 3770	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A u. B) = (A u. B) -> ((A u. B) = A \/ (A u. B) = B)))
3	1, 2	mpi 55	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A u. B) = A \/ (A u. B) = B))
4		ordeq 3664	. . . 4 |- ((A u. B) = A -> (Ord (A u. B) <-> Ord A))
5	4	biimprcd 173	. . 3 |- (Ord A -> ((A u. B) = A -> Ord (A u. B)))
6		ordeq 3664	. . . 4 |- ((A u. B) = B -> (Ord (A u. B) <-> Ord B))
7	6	biimprcd 173	. . 3 |- (Ord B -> ((A u. B) = B -> Ord (A u. B)))
8	5, 7	jaao 472	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (((A u. B) = A \/ (A u. B) = B) -> Ord (A u. B)))
9	3, 8	mpd 29	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   u. cun 2591  Ord word 3656

This theorem is referenced by:  ordsucun 3905

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain