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Theorem ordtypelem9 8050
Description: Lemma for ordtype 8056. Either the function OrdIso is an isomorphism onto all of  A, or OrdIso is not a set, which by oif 8054 implies that either  ran  O 
C_  A is a proper class or  dom  O  =  On. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
ordtypelem9.1  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem9  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  A
) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, R    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem9
Dummy variables  a 
b  c  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . . 3  |-  F  = recs ( G )
2 ordtypelem.2 . . 3  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
3 ordtypelem.3 . . 3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
4 ordtypelem.5 . . 3  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
5 ordtypelem.6 . . 3  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
6 ordtypelem.7 . . 3  |-  ( ph  ->  R  We  A )
7 ordtypelem.8 . . 3  |-  ( ph  ->  R Se  A )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem8 8049 . 2  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  ran  O ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem4 8045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
10 frn 5752 . . . . 5  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  ran  O  C_  A )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  O  C_  A
)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem2 8043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Ord  T )
13 ordirr 5460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord 
T  ->  -.  T  e.  T )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  T
)
151tfr1a 7123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
1615simpri 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Lim  dom  F
17 limord 5501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  dom  F
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem1 8042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
20 ordtypelem9.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  O  e.  _V )
2119, 20eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  |`  T )  e.  _V )
221tfr2b 7125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
T  ->  ( T  e.  dom  F  <->  ( F  |`  T )  e.  _V ) )
2312, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T  e.  dom  F  <-> 
( F  |`  T )  e.  _V ) )
2421, 23mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  dom  F
)
25 ordelon 5466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  T  e.  dom  F )  ->  T  e.  On )
2618, 24, 25sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  On )
27 imaeq2 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  T  ->  ( F " a )  =  ( F " T
) )
2827raleqdv 3028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  T  ->  ( A. c  e.  ( F " a ) c R b  <->  A. c  e.  ( F " T
) c R b ) )
2928rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  T  ->  ( E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " a ) c R b  <->  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " T
) c R b ) )
30 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  c  ->  (
z R t  <->  c R
t ) )
3130cbvralv 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. c  e.  ( F " x ) c R t )
32 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  b  ->  (
c R t  <->  c R
b ) )
3332ralbidv 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  b  ->  ( A. c  e.  ( F " x ) c R t  <->  A. c  e.  ( F " x
) c R b ) )
3431, 33syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  b  ->  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. c  e.  ( F " x
) c R b ) )
3534cbvrexv 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " x ) c R b )
36 imaeq2 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  a  ->  ( F " x )  =  ( F " a
) )
3736raleqdv 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  ( A. c  e.  ( F " x ) c R b  <->  A. c  e.  ( F " a
) c R b ) )
3837rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " x ) c R b  <->  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " a
) c R b ) )
3935, 38syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " a
) c R b ) )
4039cbvrabv 3079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x
) z R t }  =  { a  e.  On  |  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " a ) c R b }
414, 40eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  { a  e.  On  |  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " a ) c R b }
4229, 41elrab2 3230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  T  <->  ( T  e.  On  /\  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " T
) c R b ) )
4342baib 911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  On  ->  ( T  e.  T  <->  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " T
) c R b ) )
4426, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T  e.  T  <->  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " T ) c R b ) )
4514, 44mtbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " T
) c R b )
46 ralnex 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. b  e.  A  -.  A. c  e.  ( F
" T ) c R b  <->  -.  E. b  e.  A  A. c  e.  ( F " T
) c R b )
4745, 46sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. b  e.  A  -.  A. c  e.  ( F " T ) c R b )
4847r19.21bi 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  -.  A. c  e.  ( F
" T ) c R b )
4919rneqd 5081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  O  =  ran  ( F  |`  T ) )
50 df-ima 4866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" T )  =  ran  ( F  |`  T )
5149, 50syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  O  =  ( F " T ) )
5251adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ran  O  =  ( F " T ) )
5352raleqdv 3028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ran  O  c R b  <->  A. c  e.  ( F " T
) c R b ) )
54 ffun 5748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  Fun  O )
559, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Fun  O )
56 funfn 5630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
O  <->  O  Fn  dom  O )
5755, 56sylib 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O  Fn  dom  O
)
5857adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  O  Fn  dom  O )
59 breq1 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( O `  m )  ->  (
c R b  <->  ( O `  m ) R b ) )
6059ralrn 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( O  Fn  dom  O  -> 
( A. c  e. 
ran  O  c R
b  <->  A. m  e.  dom  O ( O `  m
) R b ) )
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ran  O  c R b  <->  A. m  e.  dom  O ( O `
 m ) R b ) )
6253, 61bitr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( A. c  e.  ( F " T ) c R b  <->  A. m  e.  dom  O ( O `
 m ) R b ) )
6348, 62mtbid 301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  -.  A. m  e.  dom  O
( O `  m
) R b )
64 rexnal 2870 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  dom  O  -.  ( O `  m
) R b  <->  -.  A. m  e.  dom  O ( O `
 m ) R b )
6563, 64sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  E. m  e.  dom  O  -.  ( O `  m ) R b )
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7ordtypelem7 8048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  A )  /\  m  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  m ) R b  \/  b  e.  ran  O ) )
6766ord 378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e.  A )  /\  m  e.  dom  O )  -> 
( -.  ( O `
 m ) R b  ->  b  e.  ran  O ) )
6867rexlimdva 2914 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  ( E. m  e.  dom  O  -.  ( O `  m ) R b  ->  b  e.  ran  O ) )
6965, 68mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  A )  ->  b  e.  ran  O )
7069ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( b  e.  A  ->  b  e.  ran  O
) )
7170ssrdv 3470 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ran  O )
7211, 71eqssd 3481 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  O  =  A )
73 isoeq5 6229 . . 3  |-  ( ran 
O  =  A  -> 
( O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  ran  O )  <->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom 
O ,  A ) ) )
7472, 73syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  ran  O )  <->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom 
O ,  A ) ) )
758, 74mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    i^i cin 3435    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    _E cep 4762   Se wse 4810    We wwe 4811   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   "cima 4856   Ord word 5441   Oncon0 5442   Lim wlim 5443   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601    Isom wiso 5602   iota_crio 6266  recscrecs 7100  OrdIsocoi 8033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-oi 8034
This theorem is referenced by:  ordtypelem10  8051  ordtype2  8058
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