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Theorem ordtypelem7 7967
Description: Lemma for ordtype 7975. 
ran  O is an initial segment of  A under the well-order  R. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  M ) R N  \/  N  e.  ran  O ) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    j, N, u, w    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    N( x, z, v, t, h)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem7
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3481 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  <->  ( N  e.  A  /\  -.  N  e.  ran  O ) )
2 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  = recs ( G )
3 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
4 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
5 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
6 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
7 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  We  A )
8 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R Se  A )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem4 7964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A )
11 fdm 5741 . . . . . . . . . 10  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F )
)
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom 
F ) )
13 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem2 7962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Ord  T )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  T )
16 ordsson 6624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
T  ->  T  C_  On )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  T  C_  On )
1813, 17syl5ss 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( T  i^i  dom  F )  C_  On )
1912, 18eqsstrd 3533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  dom  O 
C_  On )
2019sseld 3498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  ->  M  e.  On )
)
21 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  dom  O  <->  b  e.  dom  O ) )
22 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( O `  a )  =  ( O `  b ) )
2322breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( O `  a
) R N  <->  ( O `  b ) R N ) )
2421, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N )  <->  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  (
b  e.  dom  O  ->  ( O `  b
) R N ) ) ) )
26 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  M  ->  (
a  e.  dom  O  <->  M  e.  dom  O ) )
27 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  M  ->  ( O `  a )  =  ( O `  M ) )
2827breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  M  ->  (
( O `  a
) R N  <->  ( O `  M ) R N ) )
2926, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  M  ->  (
( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N )  <->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) ) ) )
31 r19.21v 2862 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  a  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  (
b  e.  dom  O  ->  ( O `  b
) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A 
\  ran  O )
)  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) ) )
322tfr1a 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
3332simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Lim  dom  F
34 limord 4946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Ord  dom  F
36 ordin 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  T  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  ( T  i^i  dom  F
) )
3715, 35, 36sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  ( T  i^i  dom  F
) )
38 ordeq 4894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom 
O  =  ( T  i^i  dom  F )  ->  ( Ord  dom  O  <->  Ord  ( T  i^i  dom  F ) ) )
3912, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( Ord  dom  O  <->  Ord  ( T  i^i  dom  F )
) )
4037, 39mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  dom 
O )
41 ordelss 4903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  a  e.  dom  O )  ->  a  C_  dom  O )
4240, 41sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
a  C_  dom  O )
4342sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  dom  O )
44 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  dom  O  -> 
( ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  <->  ( O `  b ) R N ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  /\  b  e.  a )  ->  (
( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N )  <->  ( O `  b ) R N ) )
4645ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  <->  A. b  e.  a  ( O `  b ) R N ) )
47 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  ->  -.  N  e.  ran  O )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  N  e.  ran  O )
499ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O :
( T  i^i  dom  F ) --> A )
50 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  O  Fn  ( T  i^i  dom  F ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O  Fn  ( T  i^i  dom  F
) )
52 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  dom  O )
5349, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F ) )
5452, 53eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )
55 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O  Fn  ( T  i^i  dom  F )  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F )
)  ->  ( O `  a )  e.  ran  O )
5651, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  ran  O )
57 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  a )  =  N  ->  (
( O `  a
)  e.  ran  O  <->  N  e.  ran  O ) )
5856, 57syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a )  =  N  ->  N  e. 
ran  O ) )
5948, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  ( O `  a )  =  N )
60 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  ->  N  e.  A )
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  N  e.  A )
62 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. b  e.  a  ( O `  b ) R N )
632, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem1 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
6542adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  dom  O )
6665, 53sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  ( T  i^i  dom  F
) )
6766, 13syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  T )
68 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( O  =  ( F  |`  T )  ->  ( O `  b )  =  ( ( F  |`  T ) `  b
) )
69 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  C_  T  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  T )
70 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 b )  =  ( F `  b
) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  C_  T  /\  b  e.  a )  ->  ( ( F  |`  T ) `  b
)  =  ( F `
 b ) )
7268, 71sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  (
a  C_  T  /\  b  e.  a )
)  ->  ( O `  b )  =  ( F `  b ) )
7372anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  /\  b  e.  a )  ->  ( O `  b )  =  ( F `  b ) )
7473breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  /\  b  e.  a )  ->  ( ( O `  b ) R N  <->  ( F `  b ) R N ) )
7574ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  ->  ( A. b  e.  a 
( O `  b
) R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b ) R N ) )
7664, 67, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( A. b  e.  a  ( O `  b ) R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
7762, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. b  e.  a  ( F `  b ) R N )
7832simpli 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  F
79 funfn 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
8078, 79mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  Fn  dom  F
81 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
8266, 81syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  dom  F )
83 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  ( F `  b )  ->  (
j R N  <->  ( F `  b ) R N ) )
8483ralima 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  a  C_  dom  F
)  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
8580, 82, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
8677, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. j  e.  ( F " a
) j R N )
87 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  N  ->  (
j R w  <->  j R N ) )
8887ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  N  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R w  <->  A. j  e.  ( F " a
) j R N ) )
8988elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a
) j R w }  <->  ( N  e.  A  /\  A. j  e.  ( F " a
) j R N ) )
9061, 86, 89sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w } )
9164fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  =  ( ( F  |`  T ) `
 a ) )
9213, 54sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  T )
93 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 a )  =  ( F `  a
) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( F  |`  T ) `  a )  =  ( F `  a ) )
9591, 94eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  =  ( F `  a ) )
96 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ph )
972, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem3 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  a )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
9896, 54, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( F `  a )  e.  {
v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
9995, 98eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  {
v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
100 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  (
u R v  <->  u R
( O `  a
) ) )
101100notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  ( -.  u R v  <->  -.  u R ( O `  a ) ) )
102101ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `
 a ) ) )
103102elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O `  a )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v }  <->  ( ( O `  a )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  /\  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a ) ) )
104103simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  a )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v }  ->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a ) )
10599, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `
 a ) )
106 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  N  ->  (
u R ( O `
 a )  <->  N R
( O `  a
) ) )
107106notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  N  ->  ( -.  u R ( O `
 a )  <->  -.  N R ( O `  a ) ) )
108107rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a
) j R w }  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a )  ->  -.  N R ( O `  a ) ) )
10990, 105, 108sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  N R ( O `  a ) )
110 weso 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
1117, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  R  Or  A )
11349, 54ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  A
)
114 sotric 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( O `  a )  e.  A  /\  N  e.  A
) )  ->  (
( O `  a
) R N  <->  -.  (
( O `  a
)  =  N  \/  N R ( O `  a ) ) ) )
115112, 113, 61, 114syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a ) R N  <->  -.  ( ( O `  a )  =  N  \/  N R ( O `  a ) ) ) )
116 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( ( O `  a )  =  N  \/  N R ( O `  a ) )  <->  ( -.  ( O `  a )  =  N  /\  -.  N R ( O `  a ) ) )
117115, 116syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a ) R N  <->  ( -.  ( O `  a )  =  N  /\  -.  N R ( O `  a ) ) ) )
11859, 109, 117mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a ) R N )
119118expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( O `  b ) R N  ->  ( O `  a ) R N ) )
12046, 119sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  ->  ( O `  a ) R N ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  (
a  e.  dom  O  ->  ( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  ->  ( O `  a ) R N ) ) )
122121com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( A. b  e.  a 
( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N )  ->  ( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N ) ) )
123122a2i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) ) )
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) )  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  (
a  e.  dom  O  ->  ( O `  a
) R N ) ) ) )
12531, 124syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  On  ->  ( A. b  e.  a 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) ) ) )
12625, 30, 125tfis3 6691 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  On  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) ) )
127126com3l 81 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( M  e.  On  ->  ( O `  M
) R N ) ) )
12820, 127mpdd 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) )
1291, 128sylan2br 476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  e.  ran  O ) )  ->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
130129anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  -.  N  e.  ran  O )  ->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
131130impancom 440 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( -.  N  e. 
ran  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
132131orrd 378 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( N  e.  ran  O  \/  ( O `  M ) R N ) )
133132orcomd 388 1  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  M ) R N  \/  N  e.  ran  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Or wor 4808   Se wse 4845    We wwe 4846   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6257  recscrecs 7059  OrdIsocoi 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-recs 7060  df-oi 7953
This theorem is referenced by:  ordtypelem9  7969  ordtypelem10  7970  oiiniseg  7976
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