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Theorem ordtypelem7 7759
Description: Lemma for ordtype 7767. 
ran  O is an initial segment of  A under the well-order  R. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  M ) R N  \/  N  e.  ran  O ) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    j, N, u, w    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    N( x, z, v, t, h)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem7
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3359 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  <->  ( N  e.  A  /\  -.  N  e.  ran  O ) )
2 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  = recs ( G )
3 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
4 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
5 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
6 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
7 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R  We  A )
8 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  R Se  A )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem4 7756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A )
11 fdm 5584 . . . . . . . . . 10  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F )
)
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom 
F ) )
13 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem2 7754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Ord  T )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  T )
16 ordsson 6422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
T  ->  T  C_  On )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  T  C_  On )
1813, 17syl5ss 3388 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( T  i^i  dom  F )  C_  On )
1912, 18eqsstrd 3411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  dom  O 
C_  On )
2019sseld 3376 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  ->  M  e.  On )
)
21 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  e.  dom  O  <->  b  e.  dom  O ) )
22 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  ->  ( O `  a )  =  ( O `  b ) )
2322breq1d 4323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
( O `  a
) R N  <->  ( O `  b ) R N ) )
2421, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N )  <->  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N ) ) )
2524imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  (
b  e.  dom  O  ->  ( O `  b
) R N ) ) ) )
26 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  M  ->  (
a  e.  dom  O  <->  M  e.  dom  O ) )
27 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  M  ->  ( O `  a )  =  ( O `  M ) )
2827breq1d 4323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  M  ->  (
( O `  a
) R N  <->  ( O `  M ) R N ) )
2926, 28imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  M  ->  (
( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N )  <->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  M  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) ) ) )
31 r19.21v 2824 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  a  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  (
b  e.  dom  O  ->  ( O `  b
) R N ) )  <->  ( ( ph  /\  N  e.  ( A 
\  ran  O )
)  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) ) )
322tfr1a 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
3332simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Lim  dom  F
34 limord 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Ord  dom  F
36 ordin 4770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Ord  T  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  ( T  i^i  dom  F
) )
3715, 35, 36sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  ( T  i^i  dom  F
) )
38 ordeq 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom 
O  =  ( T  i^i  dom  F )  ->  ( Ord  dom  O  <->  Ord  ( T  i^i  dom  F ) ) )
3912, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( Ord  dom  O  <->  Ord  ( T  i^i  dom  F )
) )
4037, 39mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  Ord  dom 
O )
41 ordelss 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  dom  O  /\  a  e.  dom  O )  ->  a  C_  dom  O )
4240, 41sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
a  C_  dom  O )
4342sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  dom  O )
44 pm5.5 336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  dom  O  -> 
( ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  <->  ( O `  b ) R N ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  /\  b  e.  a )  ->  (
( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N )  <->  ( O `  b ) R N ) )
4645ralbidva 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  <->  A. b  e.  a  ( O `  b ) R N ) )
47 eldifn 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  ->  -.  N  e.  ran  O )
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  N  e.  ran  O )
499ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O :
( T  i^i  dom  F ) --> A )
50 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  O  Fn  ( T  i^i  dom  F ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O  Fn  ( T  i^i  dom  F
) )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  dom  O )
5349, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F ) )
5452, 53eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )
55 fnfvelrn 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O  Fn  ( T  i^i  dom  F )  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F )
)  ->  ( O `  a )  e.  ran  O )
5651, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  ran  O )
57 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  a )  =  N  ->  (
( O `  a
)  e.  ran  O  <->  N  e.  ran  O ) )
5856, 57syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a )  =  N  ->  N  e. 
ran  O ) )
5948, 58mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  ( O `  a )  =  N )
60 eldifi 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( A  \  ran  O )  ->  N  e.  A )
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  N  e.  A )
62 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. b  e.  a  ( O `  b ) R N )
632, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem1 7753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
6542adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  dom  O )
6665, 53sseqtrd 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  ( T  i^i  dom  F
) )
6766, 13syl6ss 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  T )
68 fveq1 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( O  =  ( F  |`  T )  ->  ( O `  b )  =  ( ( F  |`  T ) `  b
) )
69 ssel2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  C_  T  /\  b  e.  a )  ->  b  e.  T )
70 fvres 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 b )  =  ( F `  b
) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a  C_  T  /\  b  e.  a )  ->  ( ( F  |`  T ) `  b
)  =  ( F `
 b ) )
7268, 71sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  (
a  C_  T  /\  b  e.  a )
)  ->  ( O `  b )  =  ( F `  b ) )
7372anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  /\  b  e.  a )  ->  ( O `  b )  =  ( F `  b ) )
7473breq1d 4323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  /\  b  e.  a )  ->  ( ( O `  b ) R N  <->  ( F `  b ) R N ) )
7574ralbidva 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( O  =  ( F  |`  T )  /\  a  C_  T )  ->  ( A. b  e.  a 
( O `  b
) R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b ) R N ) )
7664, 67, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( A. b  e.  a  ( O `  b ) R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
7762, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. b  e.  a  ( F `  b ) R N )
7832simpli 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  F
79 funfn 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
8078, 79mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F  Fn  dom  F
81 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
8266, 81syl6ss 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  C_  dom  F )
83 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  ( F `  b )  ->  (
j R N  <->  ( F `  b ) R N ) )
8483ralima 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  a  C_  dom  F
)  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
8580, 82, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R N  <->  A. b  e.  a  ( F `  b
) R N ) )
8677, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. j  e.  ( F " a
) j R N )
87 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  N  ->  (
j R w  <->  j R N ) )
8887ralbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  N  ->  ( A. j  e.  ( F " a ) j R w  <->  A. j  e.  ( F " a
) j R N ) )
8988elrab 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a
) j R w }  <->  ( N  e.  A  /\  A. j  e.  ( F " a
) j R N ) )
9061, 86, 89sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w } )
9164fveq1d 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  =  ( ( F  |`  T ) `
 a ) )
9213, 54sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  a  e.  T )
93 fvres 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 a )  =  ( F `  a
) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( F  |`  T ) `  a )  =  ( F `  a ) )
9591, 94eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  =  ( F `  a ) )
96 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ph )
972, 3, 4, 5, 6, 7, 8ordtypelem3 7755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  a )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
9896, 54, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( F `  a )  e.  {
v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
9995, 98eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  {
v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v } )
100 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  (
u R v  <->  u R
( O `  a
) ) )
101100notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  ( -.  u R v  <->  -.  u R ( O `  a ) ) )
102101ralbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( O `  a )  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `
 a ) ) )
103102elrab 3138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( O `  a )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v }  <->  ( ( O `  a )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  /\  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a ) ) )
104103simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  a )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R v }  ->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a ) )
10599, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `
 a ) )
106 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  N  ->  (
u R ( O `
 a )  <->  N R
( O `  a
) ) )
107106notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  N  ->  ( -.  u R ( O `
 a )  <->  -.  N R ( O `  a ) ) )
108107rspcv 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a
) j R w }  ->  ( A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " a ) j R w }  -.  u R ( O `  a )  ->  -.  N R ( O `  a ) ) )
10990, 105, 108sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  -.  N R ( O `  a ) )
110 weso 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  We  A  ->  R  Or  A )
1117, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
112111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  R  Or  A )
11349, 54ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a )  e.  A
)
114 sotric 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( ( O `  a )  e.  A  /\  N  e.  A
) )  ->  (
( O `  a
) R N  <->  -.  (
( O `  a
)  =  N  \/  N R ( O `  a ) ) ) )
115112, 113, 61, 114syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a ) R N  <->  -.  ( ( O `  a )  =  N  \/  N R ( O `  a ) ) ) )
116 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  ( ( O `  a )  =  N  \/  N R ( O `  a ) )  <->  ( -.  ( O `  a )  =  N  /\  -.  N R ( O `  a ) ) )
117115, 116syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( ( O `  a ) R N  <->  ( -.  ( O `  a )  =  N  /\  -.  N R ( O `  a ) ) ) )
11859, 109, 117mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  (
a  e.  dom  O  /\  A. b  e.  a  ( O `  b
) R N ) )  ->  ( O `  a ) R N )
119118expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( O `  b ) R N  ->  ( O `  a ) R N ) )
12046, 119sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  /\  a  e.  dom  O )  -> 
( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  ->  ( O `  a ) R N ) )
121120ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  (
a  e.  dom  O  ->  ( A. b  e.  a  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N )  ->  ( O `  a ) R N ) ) )
122121com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( A. b  e.  a 
( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N )  ->  ( a  e.  dom  O  ->  ( O `  a ) R N ) ) )
123122a2i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) ) )
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  On  ->  (
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  A. b  e.  a  ( b  e.  dom  O  ->  ( O `  b ) R N ) )  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  (
a  e.  dom  O  ->  ( O `  a
) R N ) ) ) )
12531, 124syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  On  ->  ( A. b  e.  a 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( b  e. 
dom  O  ->  ( O `
 b ) R N ) )  -> 
( ( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( a  e. 
dom  O  ->  ( O `
 a ) R N ) ) ) )
12625, 30, 125tfis3 6489 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  On  ->  (
( ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O ) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) ) )
127126com3l 81 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( M  e.  On  ->  ( O `  M
) R N ) ) )
12820, 127mpdd 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( A  \  ran  O
) )  ->  ( M  e.  dom  O  -> 
( O `  M
) R N ) )
1291, 128sylan2br 476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( N  e.  A  /\  -.  N  e.  ran  O ) )  ->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
130129anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  -.  N  e.  ran  O )  ->  ( M  e. 
dom  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
131130impancom 440 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( -.  N  e. 
ran  O  ->  ( O `
 M ) R N ) )
132131orrd 378 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( N  e.  ran  O  \/  ( O `  M ) R N ) )
133132orcomd 388 1  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  A )  /\  M  e.  dom  O )  -> 
( ( O `  M ) R N  \/  N  e.  ran  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    Or wor 4661   Se wse 4698    We wwe 4699   Ord word 4739   Oncon0 4740   Lim wlim 4741   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   "cima 4864   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439   iota_crio 6072  recscrecs 6852  OrdIsocoi 7744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-recs 6853  df-oi 7745
This theorem is referenced by:  ordtypelem9  7761  ordtypelem10  7762  oiiniseg  7768
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