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Theorem ordtypelem6 7758
Description: Lemma for ordtype 7767. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( N  e.  M  ->  ( O `  N ) R ( O `  M ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    j, N, u, w    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    N( x, z, v, t, h)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem6
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  N  e.  M )
2 ssrab2 3458 . . . . . . . 8  |-  { v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } 
C_  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }
3 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  dom  O )
4 ordtypelem.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  = recs ( G )
5 ordtypelem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
6 ordtypelem.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
7 ordtypelem.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
8 ordtypelem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
9 ordtypelem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  We  A )
10 ordtypelem.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R Se  A )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem4 7756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  O : ( T  i^i  dom  F ) --> A )
12 fdm 5584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( O : ( T  i^i  dom 
F ) --> A  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F )
)
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom  F
) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  dom  O  =  ( T  i^i  dom 
F ) )
153, 14eleqtrd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem3 7755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
1715, 16syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
182, 17sseldi 3375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
19 breq2 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( F `  M )  ->  (
j R w  <->  j R
( F `  M
) ) )
2019ralbidv 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  M )  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) ) )
2120elrab 3138 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  <->  ( ( F `
 M )  e.  A  /\  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) ) )
2221simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  M )  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  ->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) )
2318, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  A. j  e.  ( F " M
) j R ( F `  M ) )
244tfr1a 6874 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
2524simpli 458 . . . . . . . 8  |-  Fun  F
26 funfn 5468 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2725, 26mpbi 208 . . . . . . 7  |-  F  Fn  dom  F
2824simpri 462 . . . . . . . . 9  |-  Lim  dom  F
29 limord 4799 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  Ord  dom  F
31 inss2 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
3213, 31syl6eqss 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  O  C_  dom  F )
3332sselda 3377 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  dom  F )
34 ordelss 4756 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  M  C_  dom  F )
3530, 33, 34sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  C_ 
dom  F )
36 breq1 4316 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( F `  a )  ->  (
j R ( F `
 M )  <->  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3736ralima 5978 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  M  C_  dom  F
)  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R ( F `  M
)  <->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3827, 35, 37sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R ( F `  M )  <->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) ) )
3923, 38mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) )
4039adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M ) )
41 fveq2 5712 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( F `  a )  =  ( F `  N ) )
4241breq1d 4323 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( F `  a
) R ( F `
 M )  <->  ( F `  N ) R ( F `  M ) ) )
4342rspcv 3090 . . . 4  |-  ( N  e.  M  ->  ( A. a  e.  M  ( F `  a ) R ( F `  M )  ->  ( F `  N ) R ( F `  M ) ) )
441, 40, 43sylc 60 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( F `  N
) R ( F `
 M ) )
454, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem1 7753 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
4645adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  O  =  ( F  |`  T ) )
4746fveq1d 5714 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
)  =  ( ( F  |`  T ) `  N ) )
484, 5, 6, 7, 8, 9, 10ordtypelem2 7754 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Ord  T )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  Ord  T )
50 inss1 3591 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
5113, 50syl6eqss 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  O  C_  T
)
5251sselda 3377 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  M  e.  T )
5352adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  M  e.  T )
54 ordelss 4756 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  T  /\  M  e.  T )  ->  M  C_  T )
5549, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  M  C_  T )
5655, 1sseldd 3378 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  ->  N  e.  T )
57 fvres 5725 . . . . 5  |-  ( N  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 N )  =  ( F `  N
) )
5856, 57syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( ( F  |`  T ) `  N
)  =  ( F `
 N ) )
5947, 58eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
)  =  ( F `
 N ) )
6046fveq1d 5714 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  M
)  =  ( ( F  |`  T ) `  M ) )
61 fvres 5725 . . . . 5  |-  ( M  e.  T  ->  (
( F  |`  T ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
6253, 61syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( ( F  |`  T ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6360, 62eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  M
)  =  ( F `
 M ) )
6444, 59, 633brtr4d 4343 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M  e.  dom  O  /\  N  e.  M ) )  -> 
( O `  N
) R ( O `
 M ) )
6564expr 615 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  dom  O )  ->  ( N  e.  M  ->  ( O `  N ) R ( O `  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   Se wse 4698    We wwe 4699   Ord word 4739   Oncon0 4740   Lim wlim 4741   dom cdm 4861   ran crn 4862    |` cres 4863   "cima 4864   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439   iota_crio 6072  recscrecs 6852  OrdIsocoi 7744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-recs 6853  df-oi 7745
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7760
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