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Theorem ordtypelem3 7730
Description: Lemma for ordtype 7742. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem3
StepHypRef Expression
1 inss2 3568 . . . . 5  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
2 simpr 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
31, 2sseldi 3351 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  dom  F )
4 ordtypelem.1 . . . . 5  |-  F  = recs ( G )
54tfr2a 6850 . . . 4  |-  ( M  e.  dom  F  -> 
( F `  M
)  =  ( G `
 ( F  |`  M ) ) )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  ( F  |`  M ) ) )
74tfr1a 6849 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
87simpri 459 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  F
9 limord 4774 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Ord  dom  F
11 ordelord 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  Ord  M )
1210, 3, 11sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  Ord  M )
134tfr2b 6851 . . . . . 6  |-  ( Ord 
M  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
153, 14mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F  |`  M )  e. 
_V )
16 ordtypelem.2 . . . . . . 7  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
17 rneq 5061 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ran  ( F  |`  M ) )
18 df-ima 4849 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" M )  =  ran  ( F  |`  M )
1917, 18syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ( F " M ) )
2019raleqdv 2921 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. j  e.  ( F " M ) j R w ) )
2120rabbidv 2962 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2216, 21syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2322raleqdv 2921 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2422, 23riotaeqbidv 6052 . . . . 5  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
25 ordtypelem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
26 riotaex 6053 . . . . 5  |-  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( ( F  |`  M )  e.  _V  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2815, 27syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
296, 28eqtrd 2473 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
30 ordtypelem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  We  A )
3130adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R  We  A )
32 ordtypelem.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R Se  A )
3332adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R Se  A )
34 ssrab2 3434 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
)
36 inss1 3567 . . . . . . . 8  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
3736, 2sseldi 3351 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  T )
38 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F " x )  =  ( F " M
) )
3938raleqdv 2921 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4039rexbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
41 ordtypelem.5 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
4240, 41elrab2 3116 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  On  /\  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4342simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  T  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
4437, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
45 breq1 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  z  ->  (
j R w  <->  z R w ) )
4645cbvralv 2945 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M ) z R w )
47 breq2 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  t  ->  (
z R w  <->  z R
t ) )
4847ralbidv 2733 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  ( A. z  e.  ( F " M ) z R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4946, 48syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
5049cbvrexv 2946 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M ) z R t )
5144, 50sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M
) j R w )
52 rabn0 3654 . . . . 5  |-  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w )
5351, 52sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) )
54 wereu2 4713 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  C_  A  /\  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) ) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
5531, 33, 35, 53, 54syl22anc 1214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
56 riotacl2 6064 . . 3  |-  ( E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v  -> 
( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e. 
{ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5755, 56syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5829, 57eqeltrd 2515 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   E!wreu 2715   {crab 2717   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   Se wse 4673    We wwe 4674   Ord word 4714   Oncon0 4715   Lim wlim 4716   dom cdm 4836   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409   ` cfv 5415   iota_crio 6048  recscrecs 6827  OrdIsocoi 7719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-recs 6828
This theorem is referenced by:  ordtypelem4  7731  ordtypelem6  7733  ordtypelem7  7734
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