Theorem ordtypelem3 5686

Description: Lemma for ordtype 5691.

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- A e. _V
ordtypelem.2	|- B = {h | E.b e. On (h Fn b /\ A.c e. b (h` c) = (G` (h |` c)))}
ordtypelem.3	|- F = U.B
ordtypelem.4	|- C = {w e. A | A.j e. ran h jRw}
ordtypelem.5	|- D = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw}
ordtypelem.6	|- G = {<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}
ordtypelem.7	|- H = {w e. A | A.j e. (F"y)jRw}

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem3	|- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (y e. x -> -. (F` x) = (F` y)))

Distinct variable groups:   b,c,h,j,u,v,w,x,y,A   B,b,c,h,x,y   C,c,u   D,h,j,u,v,w,y   F,b,c,h,j,u,v,w,x,y   G,b,c,h   h,H,j,u,v,w,x   R,b,c,h,j,u,v,w,x,y

Proof of Theorem ordtypelem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypelem.1	. . 3 |- A e. _V
2		ordtypelem.2	. . 3 |- B = {h | E.b e. On (h Fn b /\ A.c e. b (h` c) = (G` (h |` c)))}
3		ordtypelem.3	. . 3 |- F = U.B
4		ordtypelem.4	. . 3 |- C = {w e. A | A.j e. ran h jRw}
5		ordtypelem.5	. . 3 |- D = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw}
6		ordtypelem.6	. . 3 |- G = {<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}
7		ordtypelem.7	. . 3 |- H = {w e. A | A.j e. (F"y)jRw}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem2 5685	. 2 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))
9		weso 3649	. . . . 5 |- (R We A -> R Or A)
10		sopo 3605	. . . . 5 |- (R Or A -> R Po A)
11	9, 10	syl 12	. . . 4 |- (R We A -> R Po A)
12	11	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> R Po A)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ordtypelem1 5684	. . . 4 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. D)
14		ssrab2 2692	. . . . . 6 |- {w e. A | A.j e. (F"x)jRw} C_ A
15	5, 14	eqsstri 2647	. . . . 5 |- D C_ A
16	15	sseli 2617	. . . 4 |- ((F` x) e. D -> (F` x) e. A)
17	13, 16	syl 12	. . 3 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. A)
18		breq1 3341	. . . . . 6 |- ((F` x) = (F` y) -> ((F` x)R(F` x) <-> (F` y)R(F` x)))
19	18	biimprcd 173	. . . . 5 |- ((F` y)R(F` x) -> ((F` x) = (F` y) -> (F` x)R(F` x)))
20		poirr 3597	. . . . 5 |- ((R Po A /\ (F` x) e. A) -> -. (F` x)R(F` x))
21	19, 20	nsyli 136	. . . 4 |- ((F` y)R(F` x) -> ((R Po A /\ (F` x) e. A) -> -. (F` x) = (F` y)))
22	21	com12 14	. . 3 |- ((R Po A /\ (F` x) e. A) -> ((F` y)R(F` x) -> -. (F` x) = (F` y)))
23	12, 17, 22	syl11anc 524	. 2 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> ((F` y)R(F` x) -> -. (F` x) = (F` y)))
24	8, 23	syld 30	1 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (y e. x -> -. (F` x) = (F` y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   Po wpo 3589   Or wor 3590   We wwe 3624  Oncon0 3657  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989   Fn wfn 3993  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  ordtypelem4 5687  ordtypelem5 5688  ordtypelem4OLD 15378  ordtypelem5OLD 15379

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain