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Theorem ordtypelem3 7988
Description: Lemma for ordtype 8000. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
ordtypelem.5  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
ordtypelem.6  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
ordtypelem.7  |-  ( ph  ->  R  We  A )
ordtypelem.8  |-  ( ph  ->  R Se  A )
Assertion
Ref Expression
ordtypelem3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Distinct variable groups:    v, u, C    h, j, t, u, v, w, x, z, M    R, h, j, t, u, v, w, x, z    A, h, j, t, u, v, w, x, z    t, O, u, v, x    ph, t, x    h, F, j, t, u, v, w, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, w, v, u, h, j)    C( x, z, w, t, h, j)    T( x, z, w, v, u, t, h, j)    G( x, z, w, v, u, t, h, j)    O( z, w, h, j)

Proof of Theorem ordtypelem3
StepHypRef Expression
1 inss2 3626 . . . . 5  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
2 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  ( T  i^i  dom  F ) )
31, 2sseldi 3405 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  dom  F )
4 ordtypelem.1 . . . . 5  |-  F  = recs ( G )
54tfr2a 7068 . . . 4  |-  ( M  e.  dom  F  -> 
( F `  M
)  =  ( G `
 ( F  |`  M ) ) )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( G `  ( F  |`  M ) ) )
74tfr1a 7067 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  /\  Lim  dom  F
)
87simpri 463 . . . . . . . 8  |-  Lim  dom  F
9 limord 5444 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  F  ->  Ord  dom  F )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Ord  dom  F
11 ordelord 5407 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  M  e.  dom  F )  ->  Ord  M )
1210, 3, 11sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  Ord  M )
134tfr2b 7069 . . . . . 6  |-  ( Ord 
M  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
1412, 13syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( M  e.  dom  F  <->  ( F  |`  M )  e.  _V ) )
153, 14mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F  |`  M )  e. 
_V )
16 ordtypelem.2 . . . . . . 7  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
17 rneq 5022 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ran  ( F  |`  M ) )
18 df-ima 4809 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" M )  =  ran  ( F  |`  M )
1917, 18syl6eqr 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ran  h  =  ( F " M ) )
2019raleqdv 2970 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. j  e.  ( F " M ) j R w ) )
2120rabbidv 3013 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2216, 21syl5eq 2474 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }
)
2322raleqdv 2970 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2422, 23riotaeqbidv 6214 . . . . 5  |-  ( h  =  ( F  |`  M )  ->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
25 ordtypelem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
26 riotaex 6215 . . . . 5  |-  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5908 . . . 4  |-  ( ( F  |`  M )  e.  _V  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
2815, 27syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( G `  ( F  |`  M ) )  =  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
296, 28eqtrd 2462 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  =  ( iota_ v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v ) )
30 ordtypelem.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  We  A )
3130adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R  We  A )
32 ordtypelem.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R Se  A )
3332adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  R Se  A )
34 ssrab2 3489 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  C_  A
)
36 inss1 3625 . . . . . . . 8  |-  ( T  i^i  dom  F )  C_  T
3736, 2sseldi 3405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  M  e.  T )
38 imaeq2 5126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( F " x )  =  ( F " M
) )
3938raleqdv 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  ( A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4039rexbidv 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  M  ->  ( E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
41 ordtypelem.5 . . . . . . . . 9  |-  T  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " x ) z R t }
4240, 41elrab2 3173 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  T  <->  ( M  e.  On  /\  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4342simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  T  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
4437, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M
) z R t )
45 breq1 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  z  ->  (
j R w  <->  z R w ) )
4645cbvralv 2996 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M ) z R w )
47 breq2 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  t  ->  (
z R w  <->  z R
t ) )
4847ralbidv 2804 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  t  ->  ( A. z  e.  ( F " M ) z R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
4946, 48syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( w  =  t  ->  ( A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  A. z  e.  ( F " M
) z R t ) )
5049cbvrexv 2997 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w  <->  E. t  e.  A  A. z  e.  ( F " M ) z R t )
5144, 50sylibr 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M
) j R w )
52 rabn0 3725 . . . . 5  |-  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/)  <->  E. w  e.  A  A. j  e.  ( F " M ) j R w )
5351, 52sylibr 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) )
54 wereu2 4793 . . . 4  |-  ( ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  /\  ( { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M
) j R w }  C_  A  /\  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  =/=  (/) ) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
5531, 33, 35, 53, 54syl22anc 1265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )
56 riotacl2 6224 . . 3  |-  ( E! v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v  -> 
( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e. 
{ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5755, 56syl 17 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v )  e.  { v  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
5829, 57eqeltrd 2506 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ( T  i^i  dom  F
) )  ->  ( F `  M )  e.  { v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  |  A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ( F " M ) j R w }  -.  u R v } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   E!wreu 2716   {crab 2718   _Vcvv 3022    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   Se wse 4753    We wwe 4754   dom cdm 4796   ran crn 4797    |` cres 4798   "cima 4799   Ord word 5384   Oncon0 5385   Lim wlim 5386   Fun wfun 5538   ` cfv 5544   iota_crio 6210  recscrecs 7044  OrdIsocoi 7977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-wrecs 6983  df-recs 7045
This theorem is referenced by:  ordtypelem4  7989  ordtypelem6  7991  ordtypelem7  7992
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