Theorem ordtypelem2 5685

Description: Lemma for ordtype 5691.

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- A e. _V
ordtypelem.2	|- B = {h | E.b e. On (h Fn b /\ A.c e. b (h` c) = (G` (h |` c)))}
ordtypelem.3	|- F = U.B
ordtypelem.4	|- C = {w e. A | A.j e. ran h jRw}
ordtypelem.5	|- D = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw}
ordtypelem.6	|- G = {<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}
ordtypelem.7	|- H = {w e. A | A.j e. (F"y)jRw}

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem2	|- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))

Distinct variable groups:   b,c,h,j,u,v,w,x,y,A   B,b,c,h,x,y   C,c,u   D,h,j,u,v,w,y   F,b,c,h,j,u,v,w,x,y   G,b,c,h   h,H,j,u,v,w,x   R,b,c,h,j,u,v,w,x,y

Proof of Theorem ordtypelem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onss 3869	. . . . 5 |- (x e. On -> x C_ On)
2		ordtypelem.2	. . . . . . 7 |- B = {h | E.b e. On (h Fn b /\ A.c e. b (h` c) = (G` (h |` c)))}
3		ordtypelem.3	. . . . . . 7 |- F = U.B
4	2, 3	tfr1 5132	. . . . . 6 |- F Fn On
5		fndm 4512	. . . . . 6 |- (F Fn On -> dom F = On)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom F = On
7	1, 6	syl6ssr 2664	. . . 4 |- (x e. On -> x C_ dom F)
8	2, 3	tfrlem7 5125	. . . . 5 |- Fun F
9		funfvima2 4829	. . . . 5 |- ((Fun F /\ x C_ dom F) -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
10	8, 9	mpan 759	. . . 4 |- (x C_ dom F -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
11	7, 10	syl 12	. . 3 |- (x e. On -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
12	11	3ad2ant1 897	. 2 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
13		ordtypelem.1	. . . 4 |- A e. _V
14		ordtypelem.4	. . . 4 |- C = {w e. A | A.j e. ran h jRw}
15		ordtypelem.5	. . . 4 |- D = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw}
16		ordtypelem.6	. . . 4 |- G = {<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}
17		ordtypelem.7	. . . 4 |- H = {w e. A | A.j e. (F"y)jRw}
18	13, 2, 3, 14, 15, 16, 17	ordtypelem1 5684	. . 3 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. D)
19		breq2 3342	. . . . . 6 |- (w = (F` x) -> (jRw <-> jR(F` x)))
20	19	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (w = (F` x) -> (A.j e. (F"x)jRw <-> A.j e. (F"x)jR(F` x)))
21	20, 15	elrab2 2416	. . . 4 |- ((F` x) e. D <-> ((F` x) e. A /\ A.j e. (F"x)jR(F` x)))
22	21	simprbi 353	. . 3 |- ((F` x) e. D -> A.j e. (F"x)jR(F` x))
23		breq1 3341	. . . 4 |- (j = (F` y) -> (jR(F` x) <-> (F` y)R(F` x)))
24	23	rcla4cv 2377	. . 3 |- (A.j e. (F"x)jR(F` x) -> ((F` y) e. (F"x) -> (F` y)R(F` x)))
25	18, 22, 24	3syl 24	. 2 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> ((F` y) e. (F"x) -> (F` y)R(F` x)))
26	12, 25	syld 30	1 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   We wwe 3624  Oncon0 3657  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  ordtypelem3 5686  ordtypelem7 5690  ordtypelem3OLD 15377  ordtypelem7OLD 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain