Theorem ordtypelem1 5684

Description: Lemma for ordtype 5691.

Hypotheses

Ref	Expression
ordtypelem.1	|- A e. _V
ordtypelem.2	|- B = {h | E.b e. On (h Fn b /\ A.c e. b (h` c) = (G` (h |` c)))}
ordtypelem.3	|- F = U.B
ordtypelem.4	|- C = {w e. A | A.j e. ran h jRw}
ordtypelem.5	|- D = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw}
ordtypelem.6	|- G = {<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}
ordtypelem.7	|- H = {w e. A | A.j e. (F"y)jRw}

Assertion

Ref	Expression
ordtypelem1	|- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. D)

Distinct variable groups:   b,c,h,j,u,v,w,x,y,A   B,b,c,h,x,y   C,c,u   D,h,j,u,v,w,y   F,b,c,h,j,u,v,w,x,y   G,b,c,h   h,H,j,u,v,w,x   R,b,c,h,j,u,v,w,x,y

Proof of Theorem ordtypelem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtypelem.2	. . . . . 6 |- B = {h | E.b e. On (h Fn b /\ A.c e. b (h` c) = (G` (h |` c)))}
2		ordtypelem.3	. . . . . 6 |- F = U.B
3	1, 2	tfr2 5133	. . . . 5 |- (x e. On -> (F` x) = (G` (F |` x)))
4		ordtypelem.6	. . . . . . 7 |- G = {<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}
5	4	fveq1i 4682	. . . . . 6 |- (G` (F |` x)) = ({<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}` (F |` x))
6	1, 2	tfrlem7 5125	. . . . . . . 8 |- Fun F
7		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8		resfunexg 4500	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ x e. _V) -> (F |` x) e. _V)
9	6, 7, 8	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (F |` x) e. _V
10		ordtypelem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
11		ordtypelem.5	. . . . . . . . . . 11 |- D = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw}
12		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . 11 |- {w e. A | A.j e. (F"x)jRw} C_ A
13	11, 12	eqsstri 2647	. . . . . . . . . 10 |- D C_ A
14	10, 13	ssexi 3456	. . . . . . . . 9 |- D e. _V
15	14	rabex 3461	. . . . . . . 8 |- {v e. D | A.u e. D -. uRv} e. _V
16	15	uniex 3794	. . . . . . 7 |- U.{v e. D | A.u e. D -. uRv} e. _V
17		rneq 4186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (h = (F |` x) -> ran h = ran ( F |` x))
18		df-ima 4007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (F"x) = ran ( F |` x)
19	17, 18	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (h = (F |` x) -> ran h = (F"x))
20	19	raleqdv 2269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (h = (F |` x) -> (A.j e. ran h jRw <-> A.j e. (F"x)jRw))
21	20	rabbidv 2287	. . . . . . . . . . . . 13 |- (h = (F |` x) -> {w e. A | A.j e. ran h jRw} = {w e. A | A.j e. (F"x)jRw})
22		ordtypelem.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = {w e. A | A.j e. ran h jRw}
23	21, 22, 11	3eqtr4g 1953	. . . . . . . . . . . 12 |- (h = (F |` x) -> C = D)
24	23	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . 11 |- (h = (F |` x) -> (v e. C <-> v e. D))
25	23	raleqdv 2269	. . . . . . . . . . 11 |- (h = (F |` x) -> (A.u e. C -. uRv <-> A.u e. D -. uRv))
26	24, 25	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (h = (F |` x) -> ((v e. C /\ A.u e. C -. uRv) <-> (v e. D /\ A.u e. D -. uRv)))
27	26	abbidv 2008	. . . . . . . . 9 |- (h = (F |` x) -> {v | (v e. C /\ A.u e. C -. uRv)} = {v | (v e. D /\ A.u e. D -. uRv)})
28		df-rab 2112	. . . . . . . . 9 |- {v e. C | A.u e. C -. uRv} = {v | (v e. C /\ A.u e. C -. uRv)}
29		df-rab 2112	. . . . . . . . 9 |- {v e. D | A.u e. D -. uRv} = {v | (v e. D /\ A.u e. D -. uRv)}
30	27, 28, 29	3eqtr4g 1953	. . . . . . . 8 |- (h = (F |` x) -> {v e. C | A.u e. C -. uRv} = {v e. D | A.u e. D -. uRv})
31	30	unieqd 3188	. . . . . . 7 |- (h = (F |` x) -> U.{v e. C | A.u e. C -. uRv} = U.{v e. D | A.u e. D -. uRv})
32	9, 16, 31	fvopab 4753	. . . . . 6 |- ({<.h, c>. | c = U.{v e. C | A.u e. C -. uRv}}` (F |` x)) = U.{v e. D | A.u e. D -. uRv}
33	5, 32	eqtri 1908	. . . . 5 |- (G` (F |` x)) = U.{v e. D | A.u e. D -. uRv}
34	3, 33	syl6eq 1944	. . . 4 |- (x e. On -> (F` x) = U.{v e. D | A.u e. D -. uRv})
35	34	eleq1d 1963	. . 3 |- (x e. On -> ((F` x) e. D <-> U.{v e. D | A.u e. D -. uRv} e. D))
36	14	wereucl 3655	. . . 4 |- ((R We A /\ D C_ A /\ D =/= (/)) -> U.{v e. D | A.u e. D -. uRv} e. D)
37	13, 36	mp3an2 1179	. . 3 |- ((R We A /\ D =/= (/)) -> U.{v e. D | A.u e. D -. uRv} e. D)
38	35, 37	syl5bir 227	. 2 |- (x e. On -> ((R We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. D))
39	38	3impib 1065	1 |- ((x e. On /\ R We A /\ D =/= (/)) -> (F` x) e. D)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   We wwe 3624  Oncon0 3657  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  ordtypelem2 5685  ordtypelem3 5686  ordtypelem4 5687  ordtypelem7 5690  ordtypelem2OLD 15376  ordtypelem3OLD 15377  ordtypelem4OLD 15378  ordtypelem7OLD 15381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain