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Theorem ordtypecbv 7857
Description: Lemma for ordtype 7872. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtypelem.1  |-  F  = recs ( G )
ordtypelem.2  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
ordtypelem.3  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
Assertion
Ref Expression
ordtypecbv  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  =  F
Distinct variable groups:    f, r,
s, u, v, C   
h, j, u, v, w, f, i, y, R, r, s    A, h, j, r, s, u, v, w, y
Allowed substitution hints:    A( f, i)    C( y, w, h, i, j)    F( y, w, v, u, f, h, i, j, s, r)    G( y, w, v, u, f, h, i, j, s, r)

Proof of Theorem ordtypecbv
StepHypRef Expression
1 ordtypelem.1 . 2  |-  F  = recs ( G )
2 ordtypelem.3 . . . 4  |-  G  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )
3 breq1 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  r  ->  (
u R v  <->  r R
v ) )
43notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  r  ->  ( -.  u R v  <->  -.  r R v ) )
54cbvralv 3009 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. r  e.  C  -.  r R v )
6 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  s  ->  (
r R v  <->  r R
s ) )
76notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  s  ->  ( -.  r R v  <->  -.  r R s ) )
87ralbidv 2821 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  s  ->  ( A. r  e.  C  -.  r R v  <->  A. r  e.  C  -.  r R s ) )
95, 8syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  ( A. u  e.  C  -.  u R v  <->  A. r  e.  C  -.  r R s ) )
109cbvriotav 6169 . . . . . 6  |-  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ s  e.  C  A. r  e.  C  -.  r R s )
11 ordtypelem.2 . . . . . . . . 9  |-  C  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
12 breq1 4370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
j R w  <->  i R w ) )
1312cbvralv 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. i  e.  ran  h  i R w )
14 breq2 4371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
i R w  <->  i R
y ) )
1514ralbidv 2821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( A. i  e.  ran  h  i R w  <->  A. i  e.  ran  h  i R y ) )
1613, 15syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ( A. j  e.  ran  h  j R w  <->  A. i  e.  ran  h  i R y ) )
1716cbvrabv 3033 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  h  i R y }
1811, 17eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  C  =  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  h  i R y }
19 rneq 5141 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  f  ->  ran  h  =  ran  f )
2019raleqdv 2985 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  f  ->  ( A. i  e.  ran  h  i R y  <->  A. i  e.  ran  f  i R y ) )
2120rabbidv 3026 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  f  ->  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  h  i R y }  =  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } )
2218, 21syl5eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( h  =  f  ->  C  =  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } )
2322raleqdv 2985 . . . . . . 7  |-  ( h  =  f  ->  ( A. r  e.  C  -.  r R s  <->  A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) )
2422, 23riotaeqbidv 6161 . . . . . 6  |-  ( h  =  f  ->  ( iota_ s  e.  C  A. r  e.  C  -.  r R s )  =  ( iota_ s  e.  {
y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) )
2510, 24syl5eq 2435 . . . . 5  |-  ( h  =  f  ->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v )  =  ( iota_ s  e.  {
y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) )
2625cbvmptv 4458 . . . 4  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u R v ) )  =  ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) )
272, 26eqtri 2411 . . 3  |-  G  =  ( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  {
y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) )
28 recseq 6961 . . 3  |-  ( G  =  ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) )  -> recs ( G )  = recs (
( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  {
y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) ) )
2927, 28ax-mp 5 . 2  |- recs ( G )  = recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
301, 29eqtr2i 2412 1  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  =  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1399   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ran crn 4914   iota_crio 6157  recscrecs 6959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-cnv 4921  df-dm 4923  df-rn 4924  df-iota 5460  df-fv 5504  df-riota 6158  df-recs 6960
This theorem is referenced by:  oicl  7869  oif  7870  oiiso2  7871  ordtype  7872  oiiniseg  7873  ordtype2  7874
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