MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtval Structured version   Unicode version

Theorem ordtval 19496
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtval  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 dmeq 5203 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
3 ordtval.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
42, 3syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  X )
54sneqd 4039 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  { dom  r }  =  { X } )
6 rnun 5414 . . . . . . 7  |-  ran  (
( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } ) )
7 breq 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
y r x  <->  y R x ) )
87notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  y r x  <->  -.  y R x ) )
94, 8rabeqbidv 3108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
104, 9mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
1110rneqd 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
12 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1311, 12syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  A )
14 breq 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x r y  <->  x R
y ) )
1514notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  x r y  <->  -.  x R y ) )
164, 15rabeqbidv 3108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
174, 16mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
1817rneqd 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
19 ordtval.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2018, 19syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  B )
2113, 20uneq12d 3659 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
226, 21syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
235, 22uneq12d 3659 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) )  =  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
2423fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
2524fveq2d 5870 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
26 df-ordt 14759 . . 3  |- ordTop  =  ( r  e.  _V  |->  (
topGen `  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) ) )
27 fvex 5876 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )  e. 
_V
2825, 26, 27fvmpt 5951 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
291, 28syl 16 1  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5588   ficfi 7871   topGenctg 14696  ordTopcordt 14757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ordt 14759
This theorem is referenced by:  ordttopon  19500  ordtopn1  19501  ordtopn2  19502  ordtcnv  19508  ordtrest  19509  ordtrest2  19511  leordtval2  19519  ordthmeolem  20129  ordtprsval  27651  ordtrestNEW  27654
  Copyright terms: Public domain W3C validator