MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtval Structured version   Unicode version

Theorem ordtval 20140
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtval  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3025 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  R  e.  _V )
2 dmeq 4990 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
3 ordtval.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
42, 3syl6eqr 2474 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  X )
54sneqd 3946 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  { dom  r }  =  { X } )
6 rnun 5199 . . . . . . 7  |-  ran  (
( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } ) )
7 breq 4361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
y r x  <->  y R x ) )
87notbid 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  y r x  <->  -.  y R x ) )
94, 8rabeqbidv 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
104, 9mpteq12dv 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
1110rneqd 5017 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
12 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1311, 12syl6eqr 2474 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  =  A )
14 breq 4361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
x r y  <->  x R
y ) )
1514notbid 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  x r y  <->  -.  x R y ) )
164, 15rabeqbidv 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
174, 16mpteq12dv 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
1817rneqd 5017 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
19 ordtval.3 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2018, 19syl6eqr 2474 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  x r y } )  =  B )
2113, 20uneq12d 3557 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( ran  ( x  e.  dom  r  |->  { y  e. 
dom  r  |  -.  y r x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
226, 21syl5eq 2468 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) )  =  ( A  u.  B ) )
235, 22uneq12d 3557 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) )  =  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
2423fveq2d 5822 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y r x } )  u.  (
x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x
r y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
2524fveq2d 5822 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
26 df-ordt 15335 . . 3  |- ordTop  =  ( r  e.  _V  |->  (
topGen `  ( fi `  ( { dom  r }  u.  ran  ( ( x  e.  dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  y
r x } )  u.  ( x  e. 
dom  r  |->  { y  e.  dom  r  |  -.  x r y } ) ) ) ) ) )
27 fvex 5828 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )  e. 
_V
2825, 26, 27fvmpt 5901 . 2  |-  ( R  e.  _V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
291, 28syl 17 1  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2712   _Vcvv 3016    u. cun 3370   {csn 3934   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418   dom cdm 4789   ran crn 4790   ` cfv 5537   ficfi 7870   topGenctg 15272  ordTopcordt 15333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pr 4596
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fv 5545  df-ordt 15335
This theorem is referenced by:  ordttopon  20144  ordtopn1  20145  ordtopn2  20146  ordtcnv  20152  ordtrest  20153  ordtrest2  20155  leordtval2  20163  ordthmeolem  20751  ordtprsval  28669  ordtrestNEW  28672
  Copyright terms: Public domain W3C validator