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Theorem ordtuni 19559
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtuni  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtuni
StepHypRef Expression
1 ordtval.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
2 dmexg 6726 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
4 unisng 4267 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  U. { X }  =  X
)
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
65uneq1d 3662 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )  =  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
) )
7 ordtval.2 . . . . . . 7  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
8 ssrab2 3590 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
93adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
10 elpw2g 4616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X )
)
128, 11mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X
)
13 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1412, 13fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X
)
15 frn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  C_  ~P X )
177, 16syl5eqss 3553 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  A  C_ 
~P X )
18 ordtval.3 . . . . . . 7  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
19 ssrab2 3590 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X
20 elpw2g 4616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y } 
C_  X ) )
219, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X )
)
2219, 21mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X
)
23 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2422, 23fmptd 6056 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X
)
25 frn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) 
C_  ~P X )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  C_  ~P X )
2718, 26syl5eqss 3553 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  B  C_ 
~P X )
2817, 27unssd 3685 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( A  u.  B )  C_ 
~P X )
29 sspwuni 4417 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~P X  <->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3028, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
31 ssequn2 3682 . . . 4  |-  ( U. ( A  u.  B
)  C_  X  <->  ( X  u.  U. ( A  u.  B ) )  =  X )
3230, 31sylib 196 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
)  =  X )
336, 32eqtr2d 2509 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B )
) )
34 uniun 4270 . 2  |-  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )
3533, 34syl6eqr 2526 1  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   -->wf 5590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  ordtbas2  19560  ordtbas  19561  ordttopon  19562  ordtopn1  19563  ordtopn2  19564  ordtrest2  19573  ordthmeolem  20170  ordtprsuni  27726
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