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Theorem ordtuni 18794
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
Assertion
Ref Expression
ordtuni  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y    x, V
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    V( y)

Proof of Theorem ordtuni
StepHypRef Expression
1 ordtval.1 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
2 dmexg 6509 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
31, 2syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
4 unisng 4107 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  U. { X }  =  X
)
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
65uneq1d 3509 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )  =  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
) )
7 ordtval.2 . . . . . . 7  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
8 ssrab2 3437 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
93adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
10 elpw2g 4455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X )
)
128, 11mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X
)
13 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1412, 13fmptd 5867 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X
)
15 frn 5565 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  C_  ~P X )
177, 16syl5eqss 3400 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  A  C_ 
~P X )
18 ordtval.3 . . . . . . 7  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
19 ssrab2 3437 . . . . . . . . . 10  |-  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X
20 elpw2g 4455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y } 
C_  X ) )
219, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  C_  X )
)
2219, 21mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  ~P X
)
23 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
2422, 23fmptd 5867 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X
)
25 frn 5565 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) 
C_  ~P X )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  C_  ~P X )
2718, 26syl5eqss 3400 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  B  C_ 
~P X )
2817, 27unssd 3532 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( A  u.  B )  C_ 
~P X )
29 sspwuni 4256 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ~P X  <->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3028, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
31 ssequn2 3529 . . . 4  |-  ( U. ( A  u.  B
)  C_  X  <->  ( X  u.  U. ( A  u.  B ) )  =  X )
3230, 31sylib 196 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  ( X  u.  U. ( A  u.  B )
)  =  X )
336, 32eqtr2d 2476 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B )
) )
34 uniun 4110 . 2  |-  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  =  ( U. { X }  u.  U. ( A  u.  B
) )
3533, 34syl6eqr 2493 1  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972    u. cun 3326    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   -->wf 5414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426
This theorem is referenced by:  ordtbas2  18795  ordtbas  18796  ordttopon  18797  ordtopn1  18798  ordtopn2  18799  ordtrest2  18808  ordthmeolem  19374  ordtprsuni  26349
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