MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordttopon Structured version   Unicode version

Theorem ordttopon 19861
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordttopon  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem ordttopon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttopon.3 . . . 4  |-  X  =  dom  R
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
41, 2, 3ordtval 19857 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
5 fibas 19646 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) )  e.  TopBases
6 tgtopon 19640 . . . 4  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
84, 7syl6eqel 2550 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
91, 2, 3ordtuni 19858 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) )
10 dmexg 6704 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
111, 10syl5eqel 2546 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
129, 11eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V )
13 uniexb 6583 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V )
1412, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V )
15 fiuni 7880 . . . . 5  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
179, 16eqtrd 2495 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
1817fveq2d 5852 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
198, 18eleqtrrd 2545 1  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3459   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989   ` cfv 5570   ficfi 7862   topGenctg 14927  ordTopcordt 14988  TopOnctopon 19562   TopBasesctb 19565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-topgen 14933  df-ordt 14990  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569
This theorem is referenced by:  ordtopn3  19864  ordtcld1  19865  ordtcld2  19866  ordttop  19868  ordtrest  19870  ordtrest2lem  19871  ordtrest2  19872  letopon  19873  ordtt1  20047  ordthaus  20052  ordthmeolem  20468  ordtrestNEW  28138  ordtrest2NEWlem  28139  ordtrest2NEW  28140  ordtconlem1  28141
  Copyright terms: Public domain W3C validator