MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordttopon Structured version   Unicode version

Theorem ordttopon 18899
Description: Value of the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordttopon  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem ordttopon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttopon.3 . . . 4  |-  X  =  dom  R
2 eqid 2450 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)
3 eqid 2450 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
41, 2, 3ordtval 18895 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
5 fibas 18684 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) )  e.  TopBases
6 tgtopon 18678 . . . 4  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) )  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
84, 7syl6eqel 2544 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
91, 2, 3ordtuni 18896 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) )
10 dmexg 6595 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
111, 10syl5eqel 2540 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
129, 11eqeltrrd 2537 . . . . . 6  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V )
13 uniexb 6472 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V )
1412, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V )
15 fiuni 7765 . . . . 5  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  e.  _V  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
179, 16eqtrd 2490 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) )
1817fveq2d 5779 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  u.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) ) ) ) )
198, 18eleqtrrd 2539 1  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1757   {crab 2796   _Vcvv 3054    u. cun 3410   {csn 3961   U.cuni 4175   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434   dom cdm 4924   ran crn 4925   ` cfv 5502   ficfi 7747   topGenctg 14464  ordTopcordt 14525  TopOnctopon 18601   TopBasesctb 18604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-fin 7400  df-fi 7748  df-topgen 14470  df-ordt 14527  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608
This theorem is referenced by:  ordtopn3  18902  ordtcld1  18903  ordtcld2  18904  ordttop  18906  ordtrest  18908  ordtrest2lem  18909  ordtrest2  18910  letopon  18911  ordtt1  19085  ordthaus  19090  ordthmeolem  19476  ordtrestNEW  26471  ordtrest2NEWlem  26472  ordtrest2NEW  26473  ordtconlem1  26474
  Copyright terms: Public domain W3C validator