Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtt1 20063
 Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 ordTop

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 19884 . 2 ordTop
2 snssi 4113 . . . . . . . 8
32adantl 464 . . . . . . 7
4 dfss1 3641 . . . . . . 7
53, 4sylib 196 . . . . . 6
6 elsn 3983 . . . . . . . 8
7 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . 13
87psref 16052 . . . . . . . . . . . 12
98adantr 463 . . . . . . . . . . 11
109, 9jca 530 . . . . . . . . . 10
11 breq2 4396 . . . . . . . . . . 11
12 breq1 4395 . . . . . . . . . . 11
1311, 12anbi12d 709 . . . . . . . . . 10
1410, 13syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
15 psasym 16054 . . . . . . . . . . . 12
1615eqcomd 2408 . . . . . . . . . . 11
17163expib 1198 . . . . . . . . . 10
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . 9
1914, 18impbid 191 . . . . . . . 8
206, 19syl5bb 257 . . . . . . 7
2120rabbi2dva 3644 . . . . . 6
225, 21eqtr3d 2443 . . . . 5
237ordtcld3 19883 . . . . . 6 ordTop
24233anidm23 1287 . . . . 5 ordTop
2522, 24eqeltrd 2488 . . . 4 ordTop
2625ralrimiva 2815 . . 3 ordTop
277ordttopon 19877 . . . . 5 ordTop TopOn
28 toponuni 19610 . . . . 5 ordTop TopOn ordTop
2927, 28syl 17 . . . 4 ordTop
3029raleqdv 3007 . . 3 ordTop ordTop ordTop
3126, 30mpbid 210 . 2 ordTop ordTop
32 eqid 2400 . . 3 ordTop ordTop
3332ist1 20005 . 2 ordTop ordTop ordTop ordTop
341, 31, 33sylanbrc 662 1 ordTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840  wral 2751  crab 2755   cin 3410   wss 3411  csn 3969  cuni 4188   class class class wbr 4392   cdm 4940  cfv 5523  ordTopcordt 15003  cps 16042  ctop 19576  TopOnctopon 19577  ccld 19699  ct1 19991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-fin 7476  df-fi 7823  df-topgen 14948  df-ordt 15005  df-ps 16044  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cld 19702  df-t1 19998 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator