MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtt1 20063
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 19884 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
2 snssi 4113 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  R  ->  { x }  C_  dom  R )
32adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  C_  dom  R )
4 dfss1 3641 . . . . . . 7  |-  ( { x }  C_  dom  R  <-> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
53, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
6 elsn 3983 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
7 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
87psref 16052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
98adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  x R x )
109, 9jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( x R x  /\  x R x ) )
11 breq2 4396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
12 breq1 4395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1311, 12anbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
1410, 13syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
15 psasym 16054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
1615eqcomd 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x )
17163expib 1198 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1914, 18impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
206, 19syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  e.  { x }  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
2120rabbi2dva 3644 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
225, 21eqtr3d 2443 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
237ordtcld3 19883 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
24233anidm23 1287 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2522, 24eqeltrd 2488 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2625ralrimiva 2815 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
277ordttopon 19877 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
28 toponuni 19610 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R ) )
2927, 28syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R )
)
3029raleqdv 3007 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R )
)  <->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) ) )
3126, 30mpbid 210 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
32 eqid 2400 . . 3  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
3332ist1 20005 . 2  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Fre  <->  (
(ordTop `  R )  e.  Top  /\  A. x  e.  U. (ordTop `  R
) { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) ) )
341, 31, 33sylanbrc 662 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   {crab 2755    i^i cin 3410    C_ wss 3411   {csn 3969   U.cuni 4188   class class class wbr 4392   dom cdm 4940   ` cfv 5523  ordTopcordt 15003   PosetRelcps 16042   Topctop 19576  TopOnctopon 19577   Clsdccld 19699   Frect1 19991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-fin 7476  df-fi 7823  df-topgen 14948  df-ordt 15005  df-ps 16044  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cld 19702  df-t1 19998
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator