MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtt1 19125
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 18946 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
2 snssi 4128 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  R  ->  { x }  C_  dom  R )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  C_  dom  R )
4 dfss1 3666 . . . . . . 7  |-  ( { x }  C_  dom  R  <-> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
53, 4sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { x } )
6 elsn 4002 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
7 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  R  =  dom  R
87psref 15501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  x R x )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  x R x )
109, 9jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( x R x  /\  x R x ) )
11 breq2 4407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
x R y  <->  x R x ) )
12 breq1 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R x  <->  x R x ) )
1311, 12anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R x  /\  x R x ) ) )
1410, 13syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  ->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
15 psasym 15503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  ->  x  =  y )
1615eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x )
17163expib 1191 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( (
x R y  /\  y R x )  -> 
y  =  x ) )
1914, 18impbid 191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  =  x  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
206, 19syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  /\  y  e.  dom  R )  ->  ( y  e.  { x }  <->  ( x R y  /\  y R x ) ) )
2120rabbi2dva 3669 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  -> 
( dom  R  i^i  { x } )  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
225, 21eqtr3d 2497 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  =  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) } )
237ordtcld3 18945 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
24233anidm23 1278 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  ( x R y  /\  y R x ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2522, 24eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
2625ralrimiva 2830 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
277ordttopon 18939 . . . . 5  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
28 toponuni 18674 . . . . 5  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R ) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  R  =  U. (ordTop `  R )
)
3029raleqdv 3029 . . 3  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( A. x  e.  dom  R { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R )
)  <->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) ) )
3126, 30mpbid 210 . 2  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  A. x  e.  U. (ordTop `  R ) { x }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
32 eqid 2454 . . 3  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
3332ist1 19067 . 2  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Fre  <->  (
(ordTop `  R )  e.  Top  /\  A. x  e.  U. (ordTop `  R
) { x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) ) )
341, 31, 33sylanbrc 664 1  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Fre )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803    i^i cin 3438    C_ wss 3439   {csn 3988   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   ` cfv 5529  ordTopcordt 14560   PosetRelcps 15491   Topctop 18640  TopOnctopon 18641   Clsdccld 18762   Frect1 19053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427  df-fi 7776  df-topgen 14505  df-ordt 14562  df-ps 15493  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-cld 18765  df-t1 19060
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator