Theorem ordtri4 3041

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri4	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> (A (_ B /\ -. A e. B)))

Proof of Theorem ordtri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri3 3040	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))
2		ordtri1 3037	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> -. B e. A))
3	2	anbi1d 628	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ -. A e. B) <-> (-. B e. A /\ -. A e. B)))
4		ancom 446	. . . 4 |- ((-. B e. A /\ -. A e. B) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
5		ioran 313	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
6	4, 5	bitr4i 183	. . 3 |- ((-. B e. A /\ -. A e. B) <-> -. (A e. B \/ B e. A))
7	3, 6	syl6bb 547	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ -. A e. B) <-> -. (A e. B \/ B e. A)))
8	1, 7	bitr4d 542	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> (A (_ B /\ -. A e. B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   (_ wss 2098  Ord word 3004

This theorem is referenced by:  carduni 4923  alephfp 4965

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008

Copyright terms: Public domain