Theorem ordtri3 2997

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri3	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1542	. . . . . . 7 |- (A = B -> (A e. A <-> A e. B))
2	1	negbid 614	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. A e. A <-> -. A e. B))
3		ordirr 2980	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	2, 3	syl5bi 208	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord A -> -. A e. B))
5		eleq2 1542	. . . . . . 7 |- (A = B -> (B e. A <-> B e. B))
6	5	negbid 614	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B e. A <-> -. B e. B))
7		ordirr 2980	. . . . . 6 |- (Ord B -> -. B e. B)
8	6, 7	syl5bir 210	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord B -> -. B e. A))
9	4, 8	anim12d 561	. . . 4 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> (-. A e. B /\ -. B e. A)))
10		ioran 306	. . . 4 |- (-. (A e. B \/ B e. A) <-> (-. A e. B /\ -. B e. A))
11	9, 10	syl6ibr 213	. . 3 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> -. (A e. B \/ B e. A)))
12	11	com12 11	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B -> -. (A e. B \/ B e. A)))
13		ordtri3or 2993	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ A = B \/ B e. A))
14		df-3or 780	. . . 4 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ A = B) \/ B e. A))
15		or23 263	. . . 4 |- (((A e. B \/ A = B) \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ B e. A) \/ A = B))
16		df-or 224	. . . 4 |- (((A e. B \/ B e. A) \/ A = B) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
17	14, 15, 16	3bitr 177	. . 3 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
18	13, 17	sylib 198	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
19	12, 18	impbid 519	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 778   = wceq 960   e. wcel 962  Ord word 2961

This theorem is referenced by:  ordtri4 2998  ordunisuc2 3129  tz7.48lem 3969  oacan 4196  omcan 4214  oecan 4230  omsmo 4271  inf3lem6 4630  om2uzf1o 6483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-v 1819  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965

Copyright terms: Public domain