Theorem ordtri3 3697

Description: A trichotomy law for ordinals. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri3	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (A = B -> (A e. A <-> A e. B))
2	1	notbid 673	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. A e. A <-> -. A e. B))
3		ordirr 3676	. . . . . 6 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	2, 3	syl5bi 225	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord A -> -. A e. B))
5		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (A = B -> (B e. A <-> B e. B))
6	5	notbid 673	. . . . . 6 |- (A = B -> (-. B e. A <-> -. B e. B))
7		ordirr 3676	. . . . . 6 |- (Ord B -> -. B e. B)
8	6, 7	syl5bir 227	. . . . 5 |- (A = B -> (Ord B -> -. B e. A))
9	4, 8	anim12d 617	. . . 4 |- (A = B -> ((Ord A /\ Ord B) -> (-. A e. B /\ -. B e. A)))
10	9	com12 14	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B -> (-. A e. B /\ -. B e. A)))
11		pm4.56 337	. . 3 |- ((-. A e. B /\ -. B e. A) <-> -. (A e. B \/ B e. A))
12	10, 11	syl6ib 229	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B -> -. (A e. B \/ B e. A)))
13		ordtri3or 3691	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ A = B \/ B e. A))
14		df-3or 859	. . . . 5 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ A = B) \/ B e. A))
15	13, 14	sylib 215	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B \/ A = B) \/ B e. A))
16		or23 284	. . . 4 |- (((A e. B \/ A = B) \/ B e. A) <-> ((A e. B \/ B e. A) \/ A = B))
17	15, 16	sylib 215	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B \/ B e. A) \/ A = B))
18	17	ord 249	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. (A e. B \/ B e. A) -> A = B))
19	12, 18	impbid 574	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A = B <-> -. (A e. B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300  Ord word 3656

This theorem is referenced by:  ordtri4OLD 3700  ordunisuc2 3926  tz7.48lem 5164  oacan 5229  omcan 5248  oecan 5264  omsmo 5314  inf3lem6 5724  om2uzf1oi 7712  axdenselem4 14022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain