Theorem ordtri2orOLD 3767

Description: A trichotomy law for ordinal classes.

Assertion

Ref	Expression
ordtri2orOLD	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ B C_ A))

Proof of Theorem ordtri2orOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri3or 3691	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ A = B \/ B e. A))
2		3orass 861	. . 3 |- ((A e. B \/ A = B \/ B e. A) <-> (A e. B \/ (A = B \/ B e. A)))
3	1, 2	sylib 215	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ (A = B \/ B e. A)))
4		ordsseleq 3687	. . . . 5 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B C_ A <-> (B e. A \/ B = A)))
5	4	ancoms 484	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (B C_ A <-> (B e. A \/ B = A)))
6		orcom 266	. . . . 5 |- ((B e. A \/ B = A) <-> (B = A \/ B e. A))
7		eqcom 1886	. . . . . 6 |- (B = A <-> A = B)
8	7	orbi1i 276	. . . . 5 |- ((B = A \/ B e. A) <-> (A = B \/ B e. A))
9	6, 8	bitri 190	. . . 4 |- ((B e. A \/ B = A) <-> (A = B \/ B e. A))
10	5, 9	syl6bb 595	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (B C_ A <-> (A = B \/ B e. A)))
11	10	orbi2d 676	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B \/ B C_ A) <-> (A e. B \/ (A = B \/ B e. A))))
12	3, 11	mpbird 213	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B \/ B C_ A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain