Theorem ordtri2 3039

Description: A trichotomy law for ordinals.

Assertion

Ref	Expression
ordtri2	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))

Proof of Theorem ordtri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 3033	. . . . 5 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B (_ A <-> (B e. A \/ B = A)))
2		eqcom 1524	. . . . . . 7 |- (B = A <-> A = B)
3	2	orbi2i 262	. . . . . 6 |- ((B e. A \/ B = A) <-> (B e. A \/ A = B))
4		orcom 253	. . . . . 6 |- ((B e. A \/ A = B) <-> (A = B \/ B e. A))
5	3, 4	bitri 180	. . . . 5 |- ((B e. A \/ B = A) <-> (A = B \/ B e. A))
6	1, 5	syl6bb 547	. . . 4 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B (_ A <-> (A = B \/ B e. A)))
7		ordtri1 3037	. . . 4 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (B (_ A <-> -. A e. B))
8	6, 7	bitr3d 541	. . 3 |- ((Ord B /\ Ord A) -> ((A = B \/ B e. A) <-> -. A e. B))
9	8	ancoms 447	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A = B \/ B e. A) <-> -. A e. B))
10	9	con2bid 537	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   (_ wss 2098  Ord word 3004

This theorem is referenced by:  ord0eln0 3080  oaord 4239  omord2 4256  oeord 4273  ltsopi 5081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008

Copyright terms: Public domain