MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrestixx Structured version   Unicode version

Theorem ordtrestixx 19482
Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrestixx.1  |-  A  C_  RR*
ordtrestixx.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrestixx  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ordtrestixx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ledm 15700 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
2 letsr 15703 . . . . 5  |-  <_  e.  TosetRel
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  <_  e.  TosetRel  )
4 ordtrestixx.1 . . . . 5  |-  A  C_  RR*
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  A  C_  RR* )
64sseli 3493 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  RR* )
74sseli 3493 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR* )
8 iccval 11557 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x [,] y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) } )
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  =  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
10 ordtrestixx.2 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
119, 10eqsstr3d 3532 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
131, 3, 5, 12ordtrest2 19464 . . 3  |-  ( T. 
->  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
1413eqcomd 2468 . 2  |-  ( T. 
->  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1514trud 1383 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762   {crab 2811    i^i cin 3468    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   [,]cicc 11521   ↾t crest 14665  ordTopcordt 14743    TosetRel ctsr 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-icc 11525  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-ordt 14745  df-ps 15676  df-tsr 15677  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162
This theorem is referenced by:  ordtresticc  19483  icopnfhmeo  21171
  Copyright terms: Public domain W3C validator