MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrestixx Structured version   Unicode version

Theorem ordtrestixx 20018
Description: The restriction of the less than order to an interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrestixx.1  |-  A  C_  RR*
ordtrestixx.2  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrestixx  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem ordtrestixx
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ledm 16180 . . . 4  |-  RR*  =  dom  <_
2 letsr 16183 . . . . 5  |-  <_  e.  TosetRel
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  <_  e.  TosetRel  )
4 ordtrestixx.1 . . . . 5  |-  A  C_  RR*
54a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  A  C_  RR* )
64sseli 3440 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  RR* )
74sseli 3440 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR* )
8 iccval 11623 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x [,] y )  =  { z  e. 
RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_ 
y ) } )
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  =  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
10 ordtrestixx.2 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x [,] y
)  C_  A )
119, 10eqsstr3d 3479 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  RR*  |  ( x  <_  z  /\  z  <_  y ) }  C_  A )
131, 3, 5, 12ordtrest2 20000 . . 3  |-  ( T. 
->  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  <_  )t  A ) )
1413eqcomd 2412 . 2  |-  ( T. 
->  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1514trud 1416 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  A )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407   T. wtru 1408    e. wcel 1844   {crab 2760    i^i cin 3415    C_ wss 3416   class class class wbr 4397    X. cxp 4823   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RR*cxr 9659    <_ cle 9661   [,]cicc 11587   ↾t crest 15037  ordTopcordt 15115    TosetRel ctsr 16155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-icc 11591  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-ordt 15117  df-ps 16156  df-tsr 16157  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696
This theorem is referenced by:  ordtresticc  20019  icopnfhmeo  21737
  Copyright terms: Public domain W3C validator