MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtresticc Structured version   Unicode version

Theorem ordtresticc 20226
Description: The restriction of the less than order to a closed interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtresticc  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( A [,] B ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )

Proof of Theorem ordtresticc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11718 . 2  |-  ( A [,] B )  C_  RR*
2 iccss2 11706 . 2  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  ( A [,] B ) )
31, 2ordtrestixx 20225 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( A [,] B ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    i^i cin 3435    X. cxp 4848   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    <_ cle 9677   [,]cicc 11639   ↾t crest 15307  ordTopcordt 15385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7928  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-icc 11643  df-rest 15309  df-topgen 15330  df-ordt 15387  df-ps 16434  df-tsr 16435  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910
This theorem is referenced by:  dfii5  21904  iccpnfhmeo  21960  xrhmeo  21961
  Copyright terms: Public domain W3C validator