MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtresticc Structured version   Unicode version

Theorem ordtresticc 18825
Description: The restriction of the less than order to a closed interval gives the same topology as the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtresticc  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( A [,] B ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )

Proof of Theorem ordtresticc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 11376 . 2  |-  ( A [,] B )  C_  RR*
2 iccss2 11364 . 2  |-  ( ( x  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  ( A [,] B ) )
31, 2ordtrestixx 18824 1  |-  ( (ordTop `  <_  )t  ( A [,] B ) )  =  (ordTop `  (  <_  i^i  ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    i^i cin 3325    X. cxp 4836   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    <_ cle 9417   [,]cicc 11301   ↾t crest 14357  ordTopcordt 14435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fi 7659  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-icc 11305  df-rest 14359  df-topgen 14380  df-ordt 14437  df-ps 15368  df-tsr 15369  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504
This theorem is referenced by:  dfii5  20459  iccpnfhmeo  20515  xrhmeo  20516
  Copyright terms: Public domain W3C validator