Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrestNEW Structured version   Unicode version

Theorem ordtrestNEW 27567
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ordtrestNEW  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )

Proof of Theorem ordtrestNEW
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
32inex1 4588 . . . . . 6  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
41, 3eqeltri 2551 . . . . 5  |-  .<_  e.  _V
54inex1 4588 . . . 4  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
107, 8, 9ordtval 19484 . . 3  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) ) )
116, 10syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) ) )
12 ordttop 19495 . . . . . 6  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  Top )
134, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  (ordTop `  .<_  )  e.  Top
14 ordtNEW.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
1614, 15eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1716ssex 4591 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
18 resttop 19455 . . . . 5  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
1913, 17, 18sylancr 663 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
(ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
2114ressprs 27333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
2422, 23prsdm 27560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  ->  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
2521, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
2726, 14ressbas2 14546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
28 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  e. 
_V
2927, 28syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3126, 30ressle 14655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3427adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
3534, 34xpeq12d 5024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A  X.  A )  =  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
3633, 35ineq12d 3701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( le `  K
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
3736dmeqd 5205 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
3825, 37, 343eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
391ineq1i 3696 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i  ( A  X.  A ) )
40 inass 3708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
4139, 40eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
42 xpss12 5108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( B  X.  B ) )
4342anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  X.  A )  C_  ( B  X.  B
) )
44 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( B  X.  B )  <->  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( A  X.  A ) )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( B  X.  B
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
4645ineq2d 3700 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( le `  K
)  i^i  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4741, 46syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4948dmeqd 5205 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5014, 1prsdm 27560 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
5150sseq2d 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( A  C_  dom  .<_ 
<->  A  C_  B )
)
5251biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  C_ 
dom  .<_  )
53 dfss1 3703 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  dom  .<_  <->  ( dom  .<_  i^i  A )  =  A )
5452, 53sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( dom  .<_  i^i  A )  =  A )
5538, 49, 543eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i  A
) )
5613a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop ` 
.<_  )  e.  Top )
5717adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
58 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
5958ordttopon 19488 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  ) )
604, 59mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  ) )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop ` 
.<_  )  e.  (TopOn ` 
dom  .<_  ) )
62 toponmax 19224 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  )  ->  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )
64 elrestr 14684 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( dom  .<_  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
6556, 57, 63, 64syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( dom  .<_  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
6655, 65eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
6766snssd 4172 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) } 
C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
68 rabeq 3107 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
6955, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
7055, 69mpteq12dv 4525 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
7170rneqd 5230 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ran  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) )
72 inrab2 3771 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y  .<_  x }
73 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
.<_  i^i  A )  C_  A
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)
7573, 74sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  y  e.  A )
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)
7773, 76sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  A )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  A )
79 brinxp 5062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y  .<_  x  <->  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
8075, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
8180notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( -.  y  .<_  x  <->  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
8281rabbidva 3104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
8372, 82syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
8456adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  Top )
8557adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  A  e.  _V )
86 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  K  e.  Preset  )
87 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
.<_  i^i  A )  C_  dom  .<_
8887sseli 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  x  e.  dom  .<_  )
8958ordtopn1 19489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  e.  _V  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
904, 89mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  .<_  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
9286, 88, 91syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
93 elrestr 14684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
9484, 85, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
9583, 94eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
96 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
9795, 96fmptd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
98 frn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
9997, 98syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
10071, 99eqsstrd 3538 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
101 rabeq 3107 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
10255, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
10355, 102mpteq12dv 4525 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
104103rneqd 5230 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ran  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) )
105 inrab2 3771 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x  .<_  y }
106 brinxp 5062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  .<_  y  <->  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
10778, 75, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
108107notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( -.  x  .<_  y  <->  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
109108rabbidva 3104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
110105, 109syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
11158ordtopn2 19490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  e.  _V  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
1124, 111mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  .<_  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
11486, 88, 113syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
115 elrestr 14684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
11684, 85, 114, 115syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
117110, 116eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
118 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
119117, 118fmptd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
120 frn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
121119, 120syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
122104, 121eqsstrd 3538 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
123100, 122unssd 3680 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
12467, 123unssd 3680 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
125 tgfiss 19287 . . 3  |-  ( ( ( (ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top  /\  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
12620, 124, 125syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
12711, 126eqsstrd 3538 1  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ficfi 7870   Basecbs 14490   ↾s cress 14491   lecple 14562   ↾t crest 14676   topGenctg 14693  ordTopcordt 14754    Preset cpreset 15413   Topctop 19189  TopOnctopon 19190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-ple 14575  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-preset 15415  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  27569
  Copyright terms: Public domain W3C validator