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Theorem ordtrestNEW 28064
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ordtrestNEW  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )

Proof of Theorem ordtrestNEW
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
32inex1 4597 . . . . 5  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
41, 3eqeltri 2541 . . . 4  |-  .<_  e.  _V
54inex1 4597 . . 3  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
6 eqid 2457 . . . 4  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
7 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
8 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
96, 7, 8ordtval 19817 . . 3  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) ) )
105, 9mp1i 12 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) ) )
11 ordttop 19828 . . . . . 6  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  Top )
124, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  (ordTop `  .<_  )  e.  Top
13 ordtNEW.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
1513, 14eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1615ssex 4600 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
17 resttop 19788 . . . . 5  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
1812, 16, 17sylancr 663 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
1918adantl 466 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
(ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
2013ressprs 27803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
21 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
2321, 22prsdm 28057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  ->  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
25 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
2625, 13ressbas2 14702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
27 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  e. 
_V
2826, 27syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3025, 29ressle 14816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3128, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3326adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
3433sqxpeqd 5034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A  X.  A )  =  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
3532, 34ineq12d 3697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( le `  K
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
3635dmeqd 5215 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
3724, 36, 333eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
3813, 1prsss 28059 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
3938dmeqd 5215 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
4013, 1prsdm 28057 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
4140sseq2d 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( A  C_  dom  .<_ 
<->  A  C_  B )
)
4241biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  C_ 
dom  .<_  )
43 dfss1 3699 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  dom  .<_  <->  ( dom  .<_  i^i  A )  =  A )
4442, 43sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( dom  .<_  i^i  A )  =  A )
4537, 39, 443eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i  A
) )
464, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop ` 
.<_  )  e.  Top )
4716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
48 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
4948ordttopon 19821 . . . . . . . . 9  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  ) )
504, 49mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop ` 
.<_  )  e.  (TopOn ` 
dom  .<_  ) )
51 toponmax 19556 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  )  ->  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )
53 elrestr 14846 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( dom  .<_  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
5446, 47, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( dom  .<_  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
5545, 54eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
5655snssd 4177 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) } 
C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
57 rabeq 3103 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
5845, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
5945, 58mpteq12dv 4535 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
6059rneqd 5240 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ran  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) )
61 inrab2 3778 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y  .<_  x }
62 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
.<_  i^i  A )  C_  A
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)
6462, 63sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  y  e.  A )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)
6662, 65sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  A )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  A )
68 brinxp 5071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y  .<_  x  <->  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
7069notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( -.  y  .<_  x  <->  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
7170rabbidva 3100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
7261, 71syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
734, 11mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  Top )
7447adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  A  e.  _V )
75 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  K  e.  Preset  )
76 inss1 3714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
.<_  i^i  A )  C_  dom  .<_
7776sseli 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  x  e.  dom  .<_  )
7848ordtopn1 19822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  e.  _V  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
794, 78mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  .<_  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
8079adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
8175, 77, 80syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
82 elrestr 14846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
8373, 74, 81, 82syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
8472, 83eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
85 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
8684, 85fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
87 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
8886, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
8960, 88eqsstrd 3533 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
90 rabeq 3103 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
9145, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
9245, 91mpteq12dv 4535 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
9392rneqd 5240 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ran  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) )
94 inrab2 3778 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x  .<_  y }
95 brinxp 5071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  .<_  y  <->  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
9667, 64, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
9796notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( -.  x  .<_  y  <->  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
9897rabbidva 3100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
9994, 98syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
10048ordtopn2 19823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  e.  _V  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
1014, 100mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  .<_  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
10375, 77, 102syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
104 elrestr 14846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
10573, 74, 103, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
10699, 105eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
107 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
108106, 107fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
109 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
110108, 109syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
11193, 110eqsstrd 3533 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
11289, 111unssd 3676 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
11356, 112unssd 3676 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
114 tgfiss 19620 . . 3  |-  ( ( ( (ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top  /\  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
11519, 113, 114syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
11610, 115eqsstrd 3533 1  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ficfi 7888   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   lecple 14719   ↾t crest 14838   topGenctg 14855  ordTopcordt 14916    Preset cpreset 15682   Topctop 19521  TopOnctopon 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-ple 14732  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-preset 15684  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529
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