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Theorem ordtrestNEW 26373
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ordtrestNEW  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )

Proof of Theorem ordtrestNEW
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2 fvex 5722 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
32inex1 4454 . . . . . 6  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
41, 3eqeltri 2513 . . . . 5  |-  .<_  e.  _V
54inex1 4454 . . . 4  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
107, 8, 9ordtval 18815 . . 3  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) ) )
116, 10syl 16 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) ) )
12 ordttop 18826 . . . . . 6  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  Top )
134, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  (ordTop `  .<_  )  e.  Top
14 ordtNEW.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
15 fvex 5722 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
1614, 15eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1716ssex 4457 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
18 resttop 18786 . . . . 5  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
1913, 17, 18sylancr 663 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
2019adantl 466 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
(ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top )
2114ressprs 26138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
2422, 23prsdm 26366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  ->  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
2521, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
2726, 14ressbas2 14250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
28 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  e. 
_V
2927, 28syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  A  e.  _V )
30 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3126, 30ressle 14359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
3427adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
3534, 34xpeq12d 4886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( A  X.  A )  =  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
3633, 35ineq12d 3574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
( le `  K
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
3736dmeqd 5063 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
3825, 37, 343eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
391ineq1i 3569 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i  ( A  X.  A ) )
40 inass 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
4139, 40eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
42 xpss12 4966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( B  X.  B ) )
4342anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  X.  A )  C_  ( B  X.  B
) )
44 dfss1 3576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( B  X.  B )  <->  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( A  X.  A ) )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( B  X.  B
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
4645ineq2d 3573 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( le `  K
)  i^i  ( ( B  X.  B )  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4741, 46syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  B  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4948dmeqd 5063 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5014, 1prsdm 26366 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
5150sseq2d 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( A  C_  dom  .<_ 
<->  A  C_  B )
)
5251biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  C_ 
dom  .<_  )
53 dfss1 3576 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  dom  .<_  <->  ( dom  .<_  i^i  A )  =  A )
5452, 53sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( dom  .<_  i^i  A )  =  A )
5538, 49, 543eqtr4d 2485 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i  A
) )
5613a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop ` 
.<_  )  e.  Top )
5717adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
58 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
5958ordttopon 18819 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  ) )
604, 59mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  ) )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop ` 
.<_  )  e.  (TopOn ` 
dom  .<_  ) )
62 toponmax 18555 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  .<_  )  e.  (TopOn `  dom  .<_  )  ->  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )
64 elrestr 14388 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  dom  .<_  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( dom  .<_  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
6556, 57, 63, 64syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( dom  .<_  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
6655, 65eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
6766snssd 4039 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) } 
C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
68 rabeq 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
6955, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
7055, 69mpteq12dv 4391 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
7170rneqd 5088 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ran  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) )
72 inrab2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y  .<_  x }
73 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
.<_  i^i  A )  C_  A
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)
7573, 74sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  y  e.  A )
76 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)
7773, 76sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  A )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  x  e.  A )
79 brinxp 4922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y  .<_  x  <->  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
8075, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
8180notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( -.  y  .<_  x  <->  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
8281rabbidva 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
8372, 82syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
8456adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  (ordTop `  .<_  )  e.  Top )
8557adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  A  e.  _V )
86 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  K  e.  Preset  )
87 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
.<_  i^i  A )  C_  dom  .<_
8887sseli 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  x  e.  dom  .<_  )
8958ordtopn1 18820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  e.  _V  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
904, 89mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  .<_  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
9286, 88, 91syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
93 elrestr 14388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
9484, 85, 92, 93syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
9583, 94eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
96 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
9795, 96fmptd 5888 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
98 frn 5586 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  y
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
9997, 98syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
10071, 99eqsstrd 3411 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
101 rabeq 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  .<_  i^i 
A )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
10255, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
10355, 102mpteq12dv 4391 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
104103rneqd 5088 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ran  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) )
105 inrab2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x  .<_  y }
106 brinxp 4922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  .<_  y  <->  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
10778, 75, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
108107notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Preset  /\  A  C_  B
)  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  /\  y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( -.  x  .<_  y  <->  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
109108rabbidva 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
110105, 109syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
11158ordtopn2 18821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
.<_  e.  _V  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
1124, 111mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  .<_  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  x  e.  dom  .<_  )  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
11486, 88, 113syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )
115 elrestr 14388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  .<_  )  e. 
Top  /\  A  e.  _V  /\  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  e.  (ordTop `  .<_  ) )  -> 
( { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
11684, 85, 114, 115syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  ( {
y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
117110, 116eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  /\  x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )
)  ->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  e.  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
118 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i 
A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
119117, 118fmptd 5888 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (
x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
120 frn 5586 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom 
.<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) : ( dom 
.<_  i^i  A ) --> ( (ordTop `  .<_  )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A
)  |  -.  x
(  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
121119, 120syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  .<_  i^i  A )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
122104, 121eqsstrd 3411 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
123100, 122unssd 3553 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) )  C_  (
(ordTop `  .<_  )t  A ) )
12467, 123unssd 3553 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
125 tgfiss 18618 . . 3  |-  ( ( ( (ordTop `  .<_  )t  A )  e.  Top  /\  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
12620, 124, 125syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
12711, 126eqsstrd 3411 1  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740   _Vcvv 2993    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   dom cdm 4861   ran crn 4862   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ficfi 7681   Basecbs 14195   ↾s cress 14196   lecple 14266   ↾t crest 14380   topGenctg 14397  ordTopcordt 14458    Preset cpreset 15117   Topctop 18520  TopOnctopon 18521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-ple 14279  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-ordt 14460  df-preset 15119  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528
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