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Theorem ordtrest2NEW 28140
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi , +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtrest2NEW.2  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
ordtrest2NEW.3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
ordtrest2NEW.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y    x, A, y, z    z,  .<_    z, A   
z, B    ph, x, y, z    z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
2 tospos 27880 . . . 4  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
3 posprs 15777 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  K  e.  Preset  )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Preset  )
5 ordtrest2NEW.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 ordtNEW.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
86, 7ordtrestNEW 28138 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
94, 5, 8syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
10 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )
11 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)
126, 7, 10, 11ordtprsval 28135 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
1413oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( (
topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
15 fibas 19646 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases
16 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
176, 16eqeltri 2538 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
1918, 5ssexd 4584 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 tgrest 19827 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ) )t  A ) )
2115, 19, 20sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
2214, 21eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) ) )
23 firest 14922 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A )
2423fveq2i 5851 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )
2522, 24syl6eqr 2513 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) ) )
26 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
2726inex1 4578 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
287, 27eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  .<_  e.  _V
2928inex1 4578 . . . . 5  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
30 ordttop 19868 . . . . 5  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3129, 30mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
326, 7, 10, 11ordtprsuni 28136 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )
334, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )
3433, 18eqeltrrd 2543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
35 uniexb 6583 . . . . . . 7  |-  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
3634, 35sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V )
37 restval 14916 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
3836, 19, 37syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
39 dfss1 3689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
405, 39sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
41 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
4241ordttopon 19861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4329, 42mp1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
446, 7prsssdm 28134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
454, 5, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
4645fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (TopOn `  A )
)
4743, 46eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
48 toponmax 19596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5040, 49eqeltrd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
51 elsni 4041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { B }  ->  v  =  B )
5251ineq1d 3685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5352eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( B  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5450, 53syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5554ralrimiv 2866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { B }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
56 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
576, 7, 1, 5, 56ordtrest2NEWlem 28139 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
58 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
5958, 6odubas 15962 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
607cnveqi 5166 . . . . . . . . . . . 12  |-  `'  .<_  =  `' ( ( le
`  K )  i^i  ( B  X.  B
) )
61 cnvin 5398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le
`  K )  i^i  `' ( B  X.  B ) )
62 cnvxp 5409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( B  X.  B )  =  ( B  X.  B )
6362ineq2i 3683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  `' ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )
64 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6558, 64oduleval 15960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  (ODual `  K ) )
6665ineq1i 3682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6761, 63, 663eqtri 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6860, 67eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  `'  .<_  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6958odutos 27885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. Toset  ->  (ODual `  K
)  e. Toset )
701, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e. Toset )
71 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
72 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
7371, 72brcnv 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y `'  .<_  z  <->  z  .<_  y )
74 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
7572, 74brcnv 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z `'  .<_  x  <->  x  .<_  z )
7673, 75anbi12ci 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <-> 
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <->  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )
7877rabbiia 3095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  B  |  ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x ) }  =  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }
7978, 56syl5eqss 3533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8079ancom2s 800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8159, 68, 70, 5, 80ordtrest2NEWlem 28139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
82 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
8382, 72brcnv 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `'  .<_  z  <->  z  .<_  w )
8483bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
.<_  w  <->  w `'  .<_  z )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  .<_  w  <->  w `'  .<_  z ) )
8685notbid 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  .<_  w 
<->  -.  w `'  .<_  z ) )
8786rabbidv 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }  =  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } )
8887mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
8988rneqd 5219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } )  =  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
90 cnvin 5398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  `' ( A  X.  A
) )
91 cnvxp 5409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
9291ineq2i 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' 
.<_  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )
9390, 92eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
9493fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
956ressprs 27877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
964, 5, 95syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
97 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
98 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
9997, 98ordtcnvNEW 28137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  -> 
(ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
10096, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
1016, 7prsss 28133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
1024, 5, 101syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
103 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
104103, 64ressle 14888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
10519, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( le `  K
)  =  ( le
`  ( Ks  A ) ) )
106103, 6ressbas2 14774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
1075, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
108107sqxpeqd 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  X.  A
)  =  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
109105, 108ineq12d 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
110102, 109eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
111110cnveqd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
112111fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
113110fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
114100, 112, 1133eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
11594, 114syl5reqr 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
116115eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
11789, 116raleqbidv 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
11881, 117mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
119 ralunb 3671 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
12057, 118, 119sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
121 ralunb 3671 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
{ B }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
12255, 120, 121sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
123 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  =  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )
124123fmpt 6028 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
125122, 124sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
126 frn 5719 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
127125, 126syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
12838, 127eqsstrd 3523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
129 tgfiss 19660 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13031, 128, 129syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13125, 130eqsstrd 3523 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1329, 131eqssd 3506 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ficfi 7862   Basecbs 14716   ↾s cress 14717   lecple 14791   ↾t crest 14910   topGenctg 14927  ordTopcordt 14988    Preset cpreset 15754   Posetcpo 15768  Tosetctos 15862  ODualcodu 15957   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   TopBasesctb 19565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-ple 14804  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-ordt 14990  df-preset 15756  df-poset 15774  df-toset 15863  df-odu 15958  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569
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