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Theorem ordtrest2NEW 27569
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi , +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtrest2NEW.2  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
ordtrest2NEW.3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
ordtrest2NEW.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y    x, A, y, z    z,  .<_    z, A   
z, B    ph, x, y, z    z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
2 tospos 27336 . . . 4  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
3 posprs 15436 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  K  e.  Preset  )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Preset  )
5 ordtrest2NEW.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 ordtNEW.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
86, 7ordtrestNEW 27567 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
94, 5, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )
11 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)
126, 7, 10, 11ordtprsval 27564 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
1413oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( (
topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
15 fibas 19273 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases
16 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
176, 16eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
1918, 5ssexd 4594 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 tgrest 19454 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ) )t  A ) )
2115, 19, 20sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
2214, 21eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) ) )
23 firest 14688 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A )
2423fveq2i 5869 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )
2522, 24syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) ) )
26 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
2726inex1 4588 . . . . . . . 8  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
287, 27eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  .<_  e.  _V
2928inex1 4588 . . . . . 6  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
31 ordttop 19495 . . . . 5  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
336, 7, 10, 11ordtprsuni 27565 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )
344, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )
3534, 18eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
36 uniexb 6594 . . . . . . 7  |-  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
3735, 36sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V )
38 restval 14682 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
3937, 19, 38syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
40 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
415, 40sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
4342ordttopon 19488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4430, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
456, 7prsssdm 27563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
464, 5, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
4746fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (TopOn `  A )
)
4844, 47eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
49 toponmax 19224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5141, 50eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
52 elsni 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { B }  ->  v  =  B )
5352ineq1d 3699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5453eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( B  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5551, 54syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5655ralrimiv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { B }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
57 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
586, 7, 1, 5, 57ordtrest2NEWlem 27568 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
59 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
6059, 6odubas 15620 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
617cnveqi 5177 . . . . . . . . . . . 12  |-  `'  .<_  =  `' ( ( le
`  K )  i^i  ( B  X.  B
) )
62 cnvin 5413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le
`  K )  i^i  `' ( B  X.  B ) )
63 cnvxp 5424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( B  X.  B )  =  ( B  X.  B )
6463ineq2i 3697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  `' ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )
65 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6659, 65oduleval 15618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  (ODual `  K ) )
6766ineq1i 3696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6862, 64, 673eqtri 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6961, 68eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  `'  .<_  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
7059odutos 27341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. Toset  ->  (ODual `  K
)  e. Toset )
711, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e. Toset )
72 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  e. 
_V
73 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
7472, 73brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y `'  .<_  z  <->  z  .<_  y )
75 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
7673, 75brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z `'  .<_  x  <->  x  .<_  z )
7774, 76anbi12ci 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <-> 
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) )
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  (
( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <->  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )
7978rabbiia 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { z  e.  B  |  ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x ) }  =  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }
8079eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  =  { z  e.  B  |  ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x ) }
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  =  { z  e.  B  |  ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } )
8281, 57eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8382ancom2s 800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8460, 69, 71, 5, 83ordtrest2NEWlem 27568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
85 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  B )
86 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
8786, 73brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `'  .<_  z  <->  z  .<_  w )
8887bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
.<_  w  <->  w `'  .<_  z )
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  .<_  w  <->  w `'  .<_  z ) )
9089notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  .<_  w 
<->  -.  w `'  .<_  z ) )
9190rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }  =  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } )
9285, 91mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
9392rneqd 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } )  =  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
94 cnvin 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  `' ( A  X.  A
) )
95 cnvxp 5424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
9695ineq2i 3697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' 
.<_  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )
9794, 96eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
9897fveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
996ressprs 27333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
1004, 5, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
101 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
102 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
103101, 102ordtcnvNEW 27566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  -> 
(ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
1056, 7prsss 27562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
1064, 5, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
107 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
108107, 65ressle 14655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
10919, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( le `  K
)  =  ( le
`  ( Ks  A ) ) )
110107, 6ressbas2 14546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
1115, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
112111, 111xpeq12d 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  X.  A
)  =  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
113109, 112ineq12d 3701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
114106, 113eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
115114cnveqd 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
116115fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
117114fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
118104, 116, 1173eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
11998, 118syl5reqr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
120119eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
12193, 120raleqbidv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
12284, 121mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
123 ralunb 3685 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
12458, 122, 123sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
125 ralunb 3685 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
{ B }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
12656, 124, 125sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
127 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  =  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )
128127fmpt 6042 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
129126, 128sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
130 frn 5737 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
13239, 131eqsstrd 3538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
133 tgfiss 19287 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13432, 132, 133syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13525, 134eqsstrd 3538 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1369, 135eqssd 3521 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ficfi 7870   Basecbs 14490   ↾s cress 14491   lecple 14562   ↾t crest 14676   topGenctg 14693  ordTopcordt 14754    Preset cpreset 15413   Posetcpo 15427  Tosetctos 15520  ODualcodu 15615   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   TopBasesctb 19193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-ple 14575  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-preset 15415  df-poset 15433  df-toset 15521  df-odu 15616  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197
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