Theorem ordtrest2NEW 28729

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
ordtrest2NEW.2	|- ( ph -> K e. Toset )
ordtrest2NEW.3	|- ( ph -> A C_ B )
ordtrest2NEW.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2NEW	|- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, .<_   x, B, y   x, K, y   x, A, y, z   z, .<_   z, A   z, B   ph, x, y, z   z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2NEW.2	. . . 4 |- ( ph -> K e. Toset )
2		tospos 28419	. . . 4 |- ( K e. Toset -> K e. Poset )
3		posprs 16194	. . . 4 |- ( K e. Poset -> K e. Preset )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> K e. Preset )
5		ordtrest2NEW.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
6		ordtNEW.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
7		ordtNEW.l	. . . 4 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
8	6, 7	ordtrestNEW 28727	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
10		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } )
11		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } )
12	6, 7, 10, 11	ordtprsval 28724	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) )
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) )
14	13	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
15		fibas 19993	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) e. TopBases
16		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` K ) e. _V
17	6, 16	eqeltri 2525	. . . . . . . 8 |- B e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
19	18, 5	ssexd 4550	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. _V )
20		tgrest 20175	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
21	15, 19, 20	sylancr 669	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
22	14, 21	eqtr4d 2488	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
23		firest 15331	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A )
24	23	fveq2i 5868	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) )
25	22, 24	syl6eqr 2503	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
26		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) e. _V
27	26	inex1 4544	. . . . . . 7 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
28	7, 27	eqeltri 2525	. . . . . 6 |- .<_ e. _V
29	28	inex1 4544	. . . . 5 |- ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V
30		ordttop 20216	. . . . 5 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
31	29, 30	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
32	6, 7, 10, 11	ordtprsuni 28725	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> B = U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) )
33	4, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) )
34	33, 18	eqeltrrd 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
35		uniexb 6601	. . . . . . 7 |- ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
36	34, 35	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
37		restval 15325	. . . . . 6 |- ( ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
38	36, 19, 37	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
39		dfss1 3637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
40	5, 39	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
41		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( .<_ i^i ( A X. A ) )
42	41	ordttopon 20209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
43	29, 42	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
44	6, 7	prsssdm 28723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
45	4, 5, 44	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
46	45	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
47	43, 46	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
48		toponmax 19943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
50	40, 49	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
51		elsni 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { B } -> v = B )
52	51	ineq1d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { B } -> ( v i^i A ) = ( B i^i A ) )
53	52	eleq1d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { B } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( B i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
54	50, 53	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { B } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
55	54	ralrimiv 2800	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { B } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
56		ordtrest2NEW.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )
57	6, 7, 1, 5, 56	ordtrest2NEWlem 28728	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
58		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- (ODual ` K ) = (ODual ` K )
59	58, 6	odubas 16379	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` (ODual ` K ) )
60	7	cnveqi 5009	. . . . . . . . . . . 12 |- `' .<_ = `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
61		cnvin 5243	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) )
62		cnvxp 5254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( B X. B ) = ( B X. B )
63	62	ineq2i 3631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
64		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
65	58, 64	oduleval 16377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( le ` K ) = ( le ` (ODual ` K ) )
66	65	ineq1i 3630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
67	61, 63, 66	3eqtri 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
68	60, 67	eqtri 2473	. . . . . . . . . . 11 |- `' .<_ = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
69	58	odutos 28424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Toset -> (ODual ` K ) e. Toset )
70	1, 69	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (ODual ` K ) e. Toset )
71		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
72		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
73	71, 72	brcnv 5017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y `' .<_ z <-> z .<_ y )
74		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
75	72, 74	brcnv 5017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z `' .<_ x <-> x .<_ z )
76	73, 75	anbi12ci 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) <-> ( x .<_ z /\ z .<_ y ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) <-> ( x .<_ z /\ z .<_ y ) ) )
78	77	rabbiia 3033	. . . . . . . . . . . . 13 |- { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } = { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) }
79	78, 56	syl5eqss 3476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } C_ A )
80	79	ancom2s 811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } C_ A )
81	59, 68, 70, 5, 80	ordtrest2NEWlem 28728	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
82		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
83	82, 72	brcnv 5017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' .<_ z <-> z .<_ w )
84	83	bicomi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z .<_ w <-> w `' .<_ z )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z .<_ w <-> w `' .<_ z ) )
86	85	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z .<_ w <-> -. w `' .<_ z ) )
87	86	rabbidv 3036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. B | -. z .<_ w } = { w e. B | -. w `' .<_ z } )
88	87	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) )
89	88	rneqd 5062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) )
90		cnvin 5243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i `' ( A X. A ) )
91		cnvxp 5254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
92	91	ineq2i 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' .<_ i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i ( A X. A ) )
93	90, 92	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i ( A X. A ) )
94	93	fveq2i 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) )
95	6	ressprs 28416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( K ↾s A ) e. Preset )
96	4, 5, 95	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ↾s A ) e. Preset )
97		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` ( K ↾s A ) ) = ( Base ` ( K ↾s A ) )
98		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
99	97, 98	ordtcnvNEW 28726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K ↾s A ) e. Preset -> (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
100	96, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
101	6, 7	prsss 28722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
102	4, 5, 101	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
103		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K ↾s A ) = ( K ↾s A )
104	103, 64	ressle 15297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
105	19, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
106	103, 6	ressbas2 15180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ B -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
107	5, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
108	107	sqxpeqd 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A X. A ) = ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
109	105, 108	ineq12d 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
110	102, 109	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
111	110	cnveqd 5010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
112	111	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
113	110	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
114	100, 112, 113	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
115	94, 114	syl5reqr 2500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
116	115	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
117	89, 116	raleqbidv 3001	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
118	81, 117	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
119		ralunb 3615	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
120	57, 118, 119	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
121		ralunb 3615	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { B } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
122	55, 120, 121	sylanbrc 670	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
123		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
124	123	fmpt 6043	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
125	122, 124	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
126		frn 5735	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
128	38, 127	eqsstrd 3466	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
129		tgfiss 20007	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
130	31, 128, 129	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
131	25, 130	eqsstrd 3466	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
132	9, 131	eqssd 3449	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ficfi 7924   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122   lecple 15197   ↾_t crest 15319   topGenctg 15336  ordTopcordt 15397   Preset cpreset 16171   Posetcpo 16185  Tosetctos 16279  ODualcodu 16374   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   TopBasesctb 19920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-ple 15210  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-preset 16173  df-poset 16191  df-toset 16280  df-odu 16375  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923

This theorem is referenced by: (None)