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Theorem ordtrest2NEW 28729
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi , +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtrest2NEW.2  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
ordtrest2NEW.3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
ordtrest2NEW.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y    x, A, y, z    z,  .<_    z, A   
z, B    ph, x, y, z    z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
2 tospos 28419 . . . 4  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
3 posprs 16194 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  K  e.  Preset  )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Preset  )
5 ordtrest2NEW.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 ordtNEW.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
86, 7ordtrestNEW 28727 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
94, 5, 8syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
10 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )
11 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)
126, 7, 10, 11ordtprsval 28724 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
134, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
1413oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( (
topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
15 fibas 19993 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases
16 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
176, 16eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
1918, 5ssexd 4550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 tgrest 20175 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ) )t  A ) )
2115, 19, 20sylancr 669 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
2214, 21eqtr4d 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) ) )
23 firest 15331 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A )
2423fveq2i 5868 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )
2522, 24syl6eqr 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) ) )
26 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
2726inex1 4544 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
287, 27eqeltri 2525 . . . . . 6  |-  .<_  e.  _V
2928inex1 4544 . . . . 5  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
30 ordttop 20216 . . . . 5  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3129, 30mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
326, 7, 10, 11ordtprsuni 28725 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )
334, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )
3433, 18eqeltrrd 2530 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
35 uniexb 6601 . . . . . . 7  |-  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
3634, 35sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V )
37 restval 15325 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
3836, 19, 37syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
39 dfss1 3637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
405, 39sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
41 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
4241ordttopon 20209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4329, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
446, 7prsssdm 28723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
454, 5, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
4645fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (TopOn `  A )
)
4743, 46eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
48 toponmax 19943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5040, 49eqeltrd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
51 elsni 3993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { B }  ->  v  =  B )
5251ineq1d 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5352eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( B  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5450, 53syl5ibrcom 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5554ralrimiv 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { B }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
56 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
576, 7, 1, 5, 56ordtrest2NEWlem 28728 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
58 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
5958, 6odubas 16379 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
607cnveqi 5009 . . . . . . . . . . . 12  |-  `'  .<_  =  `' ( ( le
`  K )  i^i  ( B  X.  B
) )
61 cnvin 5243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le
`  K )  i^i  `' ( B  X.  B ) )
62 cnvxp 5254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( B  X.  B )  =  ( B  X.  B )
6362ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  `' ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )
64 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6558, 64oduleval 16377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  (ODual `  K ) )
6665ineq1i 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6761, 63, 663eqtri 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6860, 67eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  `'  .<_  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6958odutos 28424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. Toset  ->  (ODual `  K
)  e. Toset )
701, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e. Toset )
71 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
72 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
7371, 72brcnv 5017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y `'  .<_  z  <->  z  .<_  y )
74 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
7572, 74brcnv 5017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z `'  .<_  x  <->  x  .<_  z )
7673, 75anbi12ci 704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <-> 
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <->  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )
7877rabbiia 3033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  B  |  ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x ) }  =  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }
7978, 56syl5eqss 3476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8079ancom2s 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8159, 68, 70, 5, 80ordtrest2NEWlem 28728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
82 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
8382, 72brcnv 5017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `'  .<_  z  <->  z  .<_  w )
8483bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
.<_  w  <->  w `'  .<_  z )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  .<_  w  <->  w `'  .<_  z ) )
8685notbid 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  .<_  w 
<->  -.  w `'  .<_  z ) )
8786rabbidv 3036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }  =  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } )
8887mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
8988rneqd 5062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } )  =  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
90 cnvin 5243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  `' ( A  X.  A
) )
91 cnvxp 5254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
9291ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' 
.<_  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )
9390, 92eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
9493fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
956ressprs 28416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
964, 5, 95syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
97 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
98 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
9997, 98ordtcnvNEW 28726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  -> 
(ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
1016, 7prsss 28722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
1024, 5, 101syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
103 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
104103, 64ressle 15297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
10519, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( le `  K
)  =  ( le
`  ( Ks  A ) ) )
106103, 6ressbas2 15180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
1075, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
108107sqxpeqd 4860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  X.  A
)  =  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
109105, 108ineq12d 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
110102, 109eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
111110cnveqd 5010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
112111fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
113110fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
114100, 112, 1133eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
11594, 114syl5reqr 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
116115eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
11789, 116raleqbidv 3001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
11881, 117mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
119 ralunb 3615 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
12057, 118, 119sylanbrc 670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
121 ralunb 3615 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
{ B }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
12255, 120, 121sylanbrc 670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
123 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  =  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )
124123fmpt 6043 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
125122, 124sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
126 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
127125, 126syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
12838, 127eqsstrd 3466 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
129 tgfiss 20007 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13031, 128, 129syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13125, 130eqsstrd 3466 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1329, 131eqssd 3449 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ficfi 7924   Basecbs 15121   ↾s cress 15122   lecple 15197   ↾t crest 15319   topGenctg 15336  ordTopcordt 15397    Preset cpreset 16171   Posetcpo 16185  Tosetctos 16279  ODualcodu 16374   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   TopBasesctb 19920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-ple 15210  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-ordt 15399  df-preset 16173  df-poset 16191  df-toset 16280  df-odu 16375  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923
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