Theorem ordtrest2NEW 28140

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtNEW.b	|- B = ( Base ` K )
ordtNEW.l	|- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
ordtrest2NEW.2	|- ( ph -> K e. Toset )
ordtrest2NEW.3	|- ( ph -> A C_ B )
ordtrest2NEW.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2NEW	|- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, .<_   x, B, y   x, K, y   x, A, y, z   z, .<_   z, A   z, B   ph, x, y, z   z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2NEW.2	. . . 4 |- ( ph -> K e. Toset )
2		tospos 27880	. . . 4 |- ( K e. Toset -> K e. Poset )
3		posprs 15777	. . . 4 |- ( K e. Poset -> K e. Preset )
4	1, 2, 3	3syl 20	. . 3 |- ( ph -> K e. Preset )
5		ordtrest2NEW.3	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
6		ordtNEW.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
7		ordtNEW.l	. . . 4 |- .<_ = ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
8	6, 7	ordtrestNEW 28138	. . 3 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
9	4, 5, 8	syl2anc 659	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )
10		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } )
11		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } )
12	6, 7, 10, 11	ordtprsval 28135	. . . . . . 7 |- ( K e. Preset -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) )
13	4, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` .<_ ) = ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) )
14	13	oveq1d 6285	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
15		fibas 19646	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) e. TopBases
16		fvex 5858	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` K ) e. _V
17	6, 16	eqeltri 2538	. . . . . . . 8 |- B e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. _V )
19	18, 5	ssexd 4584	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. _V )
20		tgrest 19827	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
21	15, 19, 20	sylancr 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
22	14, 21	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
23		firest 14922	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A )
24	23	fveq2i 5851	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ) ↾t A ) )
25	22, 24	syl6eqr 2513	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
26		fvex 5858	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) e. _V
27	26	inex1 4578	. . . . . . 7 |- ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) e. _V
28	7, 27	eqeltri 2538	. . . . . 6 |- .<_ e. _V
29	28	inex1 4578	. . . . 5 |- ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V
30		ordttop 19868	. . . . 5 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
31	29, 30	mp1i 12	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
32	6, 7, 10, 11	ordtprsuni 28136	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Preset -> B = U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) )
33	4, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B = U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) )
34	33, 18	eqeltrrd 2543	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
35		uniexb 6583	. . . . . . 7 |- ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
36	34, 35	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V )
37		restval 14916	. . . . . 6 |- ( ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
38	36, 19, 37	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
39		dfss1 3689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B <-> ( B i^i A ) = A )
40	5, 39	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B i^i A ) = A )
41		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = dom ( .<_ i^i ( A X. A ) )
42	41	ordttopon 19861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( .<_ i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
43	29, 42	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
44	6, 7	prsssdm 28134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
45	4, 5, 44	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = A )
46	45	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
47	43, 46	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
48		toponmax 19596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
50	40, 49	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
51		elsni 4041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { B } -> v = B )
52	51	ineq1d 3685	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { B } -> ( v i^i A ) = ( B i^i A ) )
53	52	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { B } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( B i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
54	50, 53	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { B } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
55	54	ralrimiv 2866	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { B } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
56		ordtrest2NEW.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) } C_ A )
57	6, 7, 1, 5, 56	ordtrest2NEWlem 28139	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
58		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- (ODual ` K ) = (ODual ` K )
59	58, 6	odubas 15962	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` (ODual ` K ) )
60	7	cnveqi 5166	. . . . . . . . . . . 12 |- `' .<_ = `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
61		cnvin 5398	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) )
62		cnvxp 5409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( B X. B ) = ( B X. B )
63	62	ineq2i 3683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( le ` K ) i^i `' ( B X. B ) ) = ( `' ( le ` K ) i^i ( B X. B ) )
64		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
65	58, 64	oduleval 15960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( le ` K ) = ( le ` (ODual ` K ) )
66	65	ineq1i 3682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
67	61, 63, 66	3eqtri 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- `' ( ( le ` K ) i^i ( B X. B ) ) = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
68	60, 67	eqtri 2483	. . . . . . . . . . 11 |- `' .<_ = ( ( le ` (ODual ` K ) ) i^i ( B X. B ) )
69	58	odutos 27885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. Toset -> (ODual ` K ) e. Toset )
70	1, 69	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (ODual ` K ) e. Toset )
71		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
72		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
73	71, 72	brcnv 5174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y `' .<_ z <-> z .<_ y )
74		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
75	72, 74	brcnv 5174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z `' .<_ x <-> x .<_ z )
76	73, 75	anbi12ci 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) <-> ( x .<_ z /\ z .<_ y ) )
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) <-> ( x .<_ z /\ z .<_ y ) ) )
78	77	rabbiia 3095	. . . . . . . . . . . . 13 |- { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } = { z e. B | ( x .<_ z /\ z .<_ y ) }
79	78, 56	syl5eqss 3533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } C_ A )
80	79	ancom2s 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. B | ( y `' .<_ z /\ z `' .<_ x ) } C_ A )
81	59, 68, 70, 5, 80	ordtrest2NEWlem 28139	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
82		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
83	82, 72	brcnv 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' .<_ z <-> z .<_ w )
84	83	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z .<_ w <-> w `' .<_ z )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z .<_ w <-> w `' .<_ z ) )
86	85	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z .<_ w <-> -. w `' .<_ z ) )
87	86	rabbidv 3098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. B | -. z .<_ w } = { w e. B | -. w `' .<_ z } )
88	87	mpteq2dv 4526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) )
89	88	rneqd 5219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) = ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) )
90		cnvin 5398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i `' ( A X. A ) )
91		cnvxp 5409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
92	91	ineq2i 3683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' .<_ i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i ( A X. A ) )
93	90, 92	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( `' .<_ i^i ( A X. A ) )
94	93	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) )
95	6	ressprs 27877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( K ↾s A ) e. Preset )
96	4, 5, 95	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ↾s A ) e. Preset )
97		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` ( K ↾s A ) ) = ( Base ` ( K ↾s A ) )
98		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
99	97, 98	ordtcnvNEW 28137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K ↾s A ) e. Preset -> (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
100	96, 99	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
101	6, 7	prsss 28133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. Preset /\ A C_ B ) -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
102	4, 5, 101	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) )
103		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K ↾s A ) = ( K ↾s A )
104	103, 64	ressle 14888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. _V -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
105	19, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( le ` K ) = ( le ` ( K ↾s A ) ) )
106	103, 6	ressbas2 14774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ B -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
107	5, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A = ( Base ` ( K ↾s A ) ) )
108	107	sqxpeqd 5014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A X. A ) = ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) )
109	105, 108	ineq12d 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( le ` K ) i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
110	102, 109	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
111	110	cnveqd 5167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) = `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) )
112	111	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` `' ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
113	110	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( ( le ` ( K ↾s A ) ) i^i ( ( Base ` ( K ↾s A ) ) X. ( Base ` ( K ↾s A ) ) ) ) ) )
114	100, 112, 113	3eqtr4d 2505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
115	94, 114	syl5reqr 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
116	115	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
117	89, 116	raleqbidv 3065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w `' .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
118	81, 117	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
119		ralunb 3671	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
120	57, 118, 119	sylanbrc 662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
121		ralunb 3671	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { B } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) )
122	55, 120, 121	sylanbrc 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
123		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
124	123	fmpt 6028	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
125	122, 124	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
126		frn 5719	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) --> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
127	125, 126	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
128	38, 127	eqsstrd 3523	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
129		tgfiss 19660	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
130	31, 128, 129	syl2anc 659	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { B } u. ( ran ( z e. B |-> { w e. B | -. w .<_ z } ) u. ran ( z e. B |-> { w e. B | -. z .<_ w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
131	25, 130	eqsstrd 3523	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) )
132	9, 131	eqssd 3506	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( .<_ i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` .<_ ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ficfi 7862   Basecbs 14716   ↾_s cress 14717   lecple 14791   ↾_t crest 14910   topGenctg 14927  ordTopcordt 14988   Preset cpreset 15754   Posetcpo 15768  Tosetctos 15862  ODualcodu 15957   Topctop 19561  TopOnctopon 19562   TopBasesctb 19565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-ple 14804  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-ordt 14990  df-preset 15756  df-poset 15774  df-toset 15863  df-odu 15958  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569

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