Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrest2NEW Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ordtrest2NEW 28803
 Description: An interval-closed set in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in , but in other sets like there are interval-closed sets like that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b
ordtNEW.l
ordtrest2NEW.2 Toset
ordtrest2NEW.3
ordtrest2NEW.4
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW ordTop ordTop t
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,   ,,,   ,

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4 Toset
2 tospos 28494 . . . 4 Toset
3 posprs 16272 . . . 4
41, 2, 33syl 18 . . 3
5 ordtrest2NEW.3 . . 3
6 ordtNEW.b . . . 4
7 ordtNEW.l . . . 4
86, 7ordtrestNEW 28801 . . 3 ordTop ordTop t
94, 5, 8syl2anc 673 . 2 ordTop ordTop t
10 eqid 2471 . . . . . . . 8
11 eqid 2471 . . . . . . . 8
126, 7, 10, 11ordtprsval 28798 . . . . . . 7 ordTop
134, 12syl 17 . . . . . 6 ordTop
1413oveq1d 6323 . . . . 5 ordTop t t
15 fibas 20070 . . . . . 6
16 fvex 5889 . . . . . . . . 9
176, 16eqeltri 2545 . . . . . . . 8
1817a1i 11 . . . . . . 7
1918, 5ssexd 4543 . . . . . 6
20 tgrest 20252 . . . . . 6 t t
2115, 19, 20sylancr 676 . . . . 5 t t
2214, 21eqtr4d 2508 . . . 4 ordTop t t
23 firest 15409 . . . . 5 t t
2423fveq2i 5882 . . . 4 t t
2522, 24syl6eqr 2523 . . 3 ordTop t t
26 fvex 5889 . . . . . . . 8
2726inex1 4537 . . . . . . 7
287, 27eqeltri 2545 . . . . . 6
2928inex1 4537 . . . . 5
30 ordttop 20293 . . . . 5 ordTop
3129, 30mp1i 13 . . . 4 ordTop
326, 7, 10, 11ordtprsuni 28799 . . . . . . . . 9
334, 32syl 17 . . . . . . . 8
3433, 18eqeltrrd 2550 . . . . . . 7
35 uniexb 6620 . . . . . . 7
3634, 35sylibr 217 . . . . . 6
37 restval 15403 . . . . . 6 t
3836, 19, 37syl2anc 673 . . . . 5 t
39 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . 12
405, 39sylib 201 . . . . . . . . . . 11
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241ordttopon 20286 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop TopOn
4329, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop TopOn
446, 7prsssdm 28797 . . . . . . . . . . . . . . 15
454, 5, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
4645fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
4743, 46eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12 ordTop TopOn
48 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . 12 ordTop TopOn ordTop
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 ordTop
5040, 49eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10 ordTop
51 elsni 3985 . . . . . . . . . . . 12
5251ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11
5352eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10 ordTop ordTop
5450, 53syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9 ordTop
5554ralrimiv 2808 . . . . . . . 8 ordTop
56 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10
576, 7, 1, 5, 56ordtrest2NEWlem 28802 . . . . . . . . 9 ordTop
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 ODual ODual
5958, 6odubas 16457 . . . . . . . . . . 11 ODual
607cnveqi 5014 . . . . . . . . . . . 12
61 cnvin 5249 . . . . . . . . . . . . 13
62 cnvxp 5260 . . . . . . . . . . . . . 14
6362ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . 13
64 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
6558, 64oduleval 16455 . . . . . . . . . . . . . 14 ODual
6665ineq1i 3621 . . . . . . . . . . . . 13 ODual
6761, 63, 663eqtri 2497 . . . . . . . . . . . 12 ODual
6860, 67eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11 ODual
6958odutos 28499 . . . . . . . . . . . 12 Toset ODual Toset
701, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 ODual Toset
71 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7371, 72brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7572, 74brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75anbi12ci 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
7877rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . 13
7978, 56syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . 12
8079ancom2s 819 . . . . . . . . . . 11
8159, 68, 70, 5, 80ordtrest2NEWlem 28802 . . . . . . . . . 10 ordTop
82 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382, 72brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14
8786rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . 13
8887mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12
8988rneqd 5068 . . . . . . . . . . 11
90 cnvin 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 cnvxp 5260 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15
9390, 92eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14
9493fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop
956ressprs 28491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s
964, 5, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
97 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s
98 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s s s s
9997, 98ordtcnvNEW 28800 . . . . . . . . . . . . . . 15 s ordTops s s ordTops s s
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTops s s ordTops s s
1016, 7prsss 28796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1024, 5, 101syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s
104103, 64ressle 15375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
10519, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
106103, 6ressbas2 15258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
1075, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
108107sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s s
109105, 108ineq12d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s s s
110102, 109eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s s
111110cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . 15 s s s
112111fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop ordTops s s
113110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop ordTops s s
114100, 112, 1133eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop
11594, 114syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . 12 ordTop ordTop
116115eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11 ordTop ordTop
11789, 116raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10 ordTop ordTop
11881, 117mpbird 240 . . . . . . . . 9 ordTop
119 ralunb 3606 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop
12057, 118, 119sylanbrc 677 . . . . . . . 8 ordTop
121 ralunb 3606 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop
12255, 120, 121sylanbrc 677 . . . . . . 7 ordTop
123 eqid 2471 . . . . . . . 8
124123fmpt 6058 . . . . . . 7 ordTop ordTop
125122, 124sylib 201 . . . . . 6 ordTop
126 frn 5747 . . . . . 6 ordTop ordTop
127125, 126syl 17 . . . . 5 ordTop
12838, 127eqsstrd 3452 . . . 4 t ordTop
129 tgfiss 20084 . . . 4 ordTop t ordTop t ordTop
13031, 128, 129syl2anc 673 . . 3 t ordTop
13125, 130eqsstrd 3452 . 2 ordTop t ordTop
1329, 131eqssd 3435 1 ordTop ordTop t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfi 7942  cbs 15199   ↾s cress 15200  cple 15275   ↾t crest 15397  ctg 15414  ordTopcordt 15475   cpreset 16249  cpo 16263  Tosetctos 16357  ODualcodu 16452  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ctb 19997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-ple 15288  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-preset 16251  df-poset 16269  df-toset 16358  df-odu 16453  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator