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Theorem ordtrest2NEW 28803
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi , +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtrest2NEW.2  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
ordtrest2NEW.3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
ordtrest2NEW.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2NEW  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y    x, A, y, z    z,  .<_    z, A   
z, B    ph, x, y, z    z, K

Proof of Theorem ordtrest2NEW
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2NEW.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e. Toset )
2 tospos 28494 . . . 4  |-  ( K  e. Toset  ->  K  e.  Poset )
3 posprs 16272 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  K  e.  Preset  )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Preset  )
5 ordtrest2NEW.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
6 ordtNEW.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
86, 7ordtrestNEW 28801 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop ` 
.<_  )t  A ) )
94, 5, 8syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
10 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )
11 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)
126, 7, 10, 11ordtprsval 28798 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
134, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) ) )
1413oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( (
topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
15 fibas 20070 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases
16 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  e.  _V
176, 16eqeltri 2545 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
1918, 5ssexd 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
20 tgrest 20252 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ) )t  A ) )
2115, 19, 20sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ) )t  A ) )
2214, 21eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )t  A ) ) )
23 firest 15409 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A )
2423fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )t  A ) )
2522, 24syl6eqr 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  =  ( topGen `  ( fi `  (
( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )t  A ) ) ) )
26 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
2726inex1 4537 . . . . . . 7  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
287, 27eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  .<_  e.  _V
2928inex1 4537 . . . . 5  |-  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V
30 ordttop 20293 . . . . 5  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
3129, 30mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
326, 7, 10, 11ordtprsuni 28799 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) )
334, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) )
3433, 18eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
35 uniexb 6620 . . . . . . 7  |-  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  e. 
_V )
3634, 35sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V )
37 restval 15403 . . . . . 6  |-  ( ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
3836, 19, 37syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A )  =  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) )
39 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  i^i  A )  =  A )
405, 39sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  =  A )
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
4241ordttopon 20286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4329, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
446, 7prsssdm 28797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
454, 5, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
4645fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (TopOn `  A )
)
4743, 46eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
48 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5040, 49eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
51 elsni 3985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { B }  ->  v  =  B )
5251ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5352eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { B }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( B  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5450, 53syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { B }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5554ralrimiv 2808 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { B }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
56 ordtrest2NEW.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }  C_  A )
576, 7, 1, 5, 56ordtrest2NEWlem 28802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
5958, 6odubas 16457 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
607cnveqi 5014 . . . . . . . . . . . 12  |-  `'  .<_  =  `' ( ( le
`  K )  i^i  ( B  X.  B
) )
61 cnvin 5249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le
`  K )  i^i  `' ( B  X.  B ) )
62 cnvxp 5260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( B  X.  B )  =  ( B  X.  B )
6362ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  `' ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )
64 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6558, 64oduleval 16455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  (ODual `  K ) )
6665ineq1i 3621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6761, 63, 663eqtri 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6860, 67eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  `'  .<_  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
6958odutos 28499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. Toset  ->  (ODual `  K
)  e. Toset )
701, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e. Toset )
71 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
72 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
7371, 72brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y `'  .<_  z  <->  z  .<_  y )
74 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
7572, 74brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z `'  .<_  x  <->  x  .<_  z )
7673, 75anbi12ci 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <-> 
( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x )  <->  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) ) )
7877rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { z  e.  B  |  ( y `'  .<_  z  /\  z `'  .<_  x ) }  =  { z  e.  B  |  ( x  .<_  z  /\  z  .<_  y ) }
7978, 56syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8079ancom2s 819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  B  |  ( y `' 
.<_  z  /\  z `'  .<_  x ) } 
C_  A )
8159, 68, 70, 5, 80ordtrest2NEWlem 28802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
82 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
8382, 72brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `'  .<_  z  <->  z  .<_  w )
8483bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
.<_  w  <->  w `'  .<_  z )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  .<_  w  <->  w `'  .<_  z ) )
8685notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z  .<_  w 
<->  -.  w `'  .<_  z ) )
8786rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }  =  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } )
8887mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
)  =  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
8988rneqd 5068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } )  =  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) )
90 cnvin 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  `' ( A  X.  A
) )
91 cnvxp 5260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
9291ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' 
.<_  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A
) )
9390, 92eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( 
.<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )
9493fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )
956ressprs 28491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
964, 5, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Ks  A )  e.  Preset  )
97 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( Ks  A ) )  =  ( Base `  ( Ks  A ) )
98 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )  =  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
9997, 98ordtcnvNEW 28800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Ks  A )  e.  Preset  -> 
(ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (
( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
1016, 7prsss 28796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A  C_  B )  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
1024, 5, 101syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  K )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
103 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ks  A )  =  ( Ks  A )
104103, 64ressle 15375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  ( Ks  A ) ) )
10519, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( le `  K
)  =  ( le
`  ( Ks  A ) ) )
106103, 6ressbas2 15258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
1075, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( Base `  ( Ks  A ) ) )
108107sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  X.  A
)  =  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) )
109105, 108ineq12d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( le `  K )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
110102, 109eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( le
`  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
111110cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) )  =  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  (
( Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) )
112111fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  `' ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( ( Base `  ( Ks  A ) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
113110fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( ( le `  ( Ks  A ) )  i^i  ( (
Base `  ( Ks  A
) )  X.  ( Base `  ( Ks  A ) ) ) ) ) )
114100, 112, 1133eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
11594, 114syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
116115eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
11789, 116raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w `'  .<_  z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( `'  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
11881, 117mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
119 ralunb 3606 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( A. v  e.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
12057, 118, 119sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
121 ralunb 3606 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
{ B }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
12255, 120, 121sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
123 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  =  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )
124123fmpt 6058 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
125122, 124sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u. 
ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i 
A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
126 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) ) --> (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )  |->  ( v  i^i  A ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
127125, 126syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
12838, 127eqsstrd 3452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
129 tgfiss 20084 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) 
C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13031, 128, 129syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { B }  u.  ( ran  ( z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  w  .<_  z } )  u.  ran  (
z  e.  B  |->  { w  e.  B  |  -.  z  .<_  w }
) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
13125, 130eqsstrd 3452 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  .<_  )t  A )  C_  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
1329, 131eqssd 3435 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  (  .<_  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  .<_  )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   Basecbs 15199   ↾s cress 15200   lecple 15275   ↾t crest 15397   topGenctg 15414  ordTopcordt 15475    Preset cpreset 16249   Posetcpo 16263  Tosetctos 16357  ODualcodu 16452   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-ple 15288  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-preset 16251  df-poset 16269  df-toset 16358  df-odu 16453  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
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