Theorem ordtrest2 20213

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	|- X = dom R
ordtrest2.2	|- ( ph -> R e. TosetRel )
ordtrest2.3	|- ( ph -> A C_ X )
ordtrest2.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2	|- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ph, x, y, z   x, R, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. TosetRel )
2		tsrps 16460	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> R e. PosetRel )
4		ordtrest2.1	. . . . 5 |- X = dom R
5		dmexg 6721	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom R e. _V )
7	4, 6	syl5eqel 2532	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
8		ordtrest2.3	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
9	7, 8	ssexd 4549	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
10		ordtrest 20211	. . 3 |- ( ( R e. PosetRel /\ A e. _V ) -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 666	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
12		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } )
13		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } )
14	4, 12, 13	ordtval 20198	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
16	15	oveq1d 6303	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
17		fibas 19986	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases
18		tgrest 20168	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
19	17, 9, 18	sylancr 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
20	16, 19	eqtr4d 2487	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
21		firest 15324	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A )
22	21	fveq2i 5866	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) )
23	20, 22	syl6eqr 2502	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
24		inex1g 4545	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
25	1, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
26		ordttop 20209	. . . . 5 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
27	25, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
28	4, 12, 13	ordtuni 20199	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
30	29, 7	eqeltrrd 2529	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
31		uniexb 6598	. . . . . . 7 |- ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
32	30, 31	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
33		restval 15318	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
34	32, 9, 33	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
35		dfss1 3636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ X <-> ( X i^i A ) = A )
36	8, 35	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X i^i A ) = A )
37		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( R i^i ( A X. A ) ) = dom ( R i^i ( A X. A ) )
38	37	ordttopon 20202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
39	25, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
40	4	psssdm 16455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. PosetRel /\ A C_ X ) -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
41	3, 8, 40	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
42	41	fveq2d 5867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
43	39, 42	eleqtrd 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
44		toponmax 19936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
46	36, 45	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
47		elsni 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { X } -> v = X )
48	47	ineq1d 3632	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { X } -> ( v i^i A ) = ( X i^i A ) )
49	48	eleq1d 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { X } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
50	46, 49	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { X } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
51	50	ralrimiv 2799	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
52		ordtrest2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )
53	4, 1, 8, 52	ordtrest2lem 20212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
54		df-rn 4844	. . . . . . . . . . 11 |- ran R = dom `' R
55		cnvtsr 16461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> `' R e. TosetRel )
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' R e. TosetRel )
57	4	psrn 16448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. PosetRel -> X = ran R )
58	3, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X = ran R )
59	8, 58	sseqtrd 3467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ ran R )
60	58	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> X = ran R )
61		rabeq 3037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = ran R -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
63		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
64		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
65	63, 64	brcnv 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y `' R z <-> z R y )
66		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
67	64, 66	brcnv 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z `' R x <-> x R z )
68	65, 67	anbi12ci 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ran R -> ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) ) )
70	69	rabbiia 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) }
71	62, 70	syl6eqr 2502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } )
72	71, 52	eqsstr3d 3466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
73	72	ancom2s 810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
74	54, 56, 59, 73	ordtrest2lem 20212	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
75		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
76	75, 64	brcnv 5016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' R z <-> z R w )
77	76	bicomi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z R w <-> w `' R z )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z R w <-> w `' R z ) )
79	78	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z R w <-> -. w `' R z ) )
80	58, 79	rabeqbidv 3039	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. X | -. z R w } = { w e. ran R | -. w `' R z } )
81	58, 80	mpteq12dv 4480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
82	81	rneqd 5061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
83		cnvin 5242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i `' ( A X. A ) )
84		cnvxp 5253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
85	84	ineq2i 3630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' R i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
86	83, 85	eqtri 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
87	86	fveq2i 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) )
88		psss 16453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
89	3, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
90		ordtcnv 20210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
92	87, 91	syl5reqr 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
93	92	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
94	82, 93	raleqbidv 3000	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
95	74, 94	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
96		ralunb 3614	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
97	53, 95, 96	sylanbrc 669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
98		ralunb 3614	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
99	51, 97, 98	sylanbrc 669	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
100		eqid 2450	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
101	100	fmpt 6041	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
102	99, 101	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
103		frn 5733	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
105	34, 104	eqsstrd 3465	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
106		tgfiss 20000	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
107	27, 105, 106	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
108	23, 107	eqsstrd 3465	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
109	11, 108	eqssd 3448	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 3044   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   {csn 3967   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ficfi 7921   ↾_t crest 15312   topGenctg 15329  ordTopcordt 15390   PosetRelcps 16437   TosetRel ctsr 16438   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   TopBasesctb 19913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-ordt 15392  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916

This theorem is referenced by:  ordtrestixx  20231  cnvordtrestixx  28712