Theorem ordtrest2 18939

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	|- X = dom R
ordtrest2.2	|- ( ph -> R e. TosetRel )
ordtrest2.3	|- ( ph -> A C_ X )
ordtrest2.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2	|- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ph, x, y, z   x, R, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. TosetRel )
2		tsrps 15509	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> R e. PosetRel )
4		ordtrest2.1	. . . . 5 |- X = dom R
5		dmexg 6618	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
6	1, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> dom R e. _V )
7	4, 6	syl5eqel 2546	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
8		ordtrest2.3	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
9	7, 8	ssexd 4546	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
10		ordtrest 18937	. . 3 |- ( ( R e. PosetRel /\ A e. _V ) -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
12		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } )
13		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } )
14	4, 12, 13	ordtval 18924	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
15	1, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
16	15	oveq1d 6214	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
17		fibas 18713	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases
18		tgrest 18894	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
19	17, 9, 18	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
20	16, 19	eqtr4d 2498	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
21		firest 14489	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A )
22	21	fveq2i 5801	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) )
23	20, 22	syl6eqr 2513	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
24		inex1g 4542	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
25	1, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
26		ordttop 18935	. . . . 5 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
28	4, 12, 13	ordtuni 18925	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
29	1, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
30	29, 7	eqeltrrd 2543	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
31		uniexb 6495	. . . . . . 7 |- ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
32	30, 31	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
33		restval 14483	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
34	32, 9, 33	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
35		dfss1 3662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ X <-> ( X i^i A ) = A )
36	8, 35	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X i^i A ) = A )
37		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( R i^i ( A X. A ) ) = dom ( R i^i ( A X. A ) )
38	37	ordttopon 18928	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
39	25, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
40	4	psssdm 15504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. PosetRel /\ A C_ X ) -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
41	3, 8, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
42	41	fveq2d 5802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
43	39, 42	eleqtrd 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
44		toponmax 18664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
46	36, 45	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
47		elsni 4009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { X } -> v = X )
48	47	ineq1d 3658	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { X } -> ( v i^i A ) = ( X i^i A ) )
49	48	eleq1d 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { X } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
50	46, 49	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { X } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
51	50	ralrimiv 2827	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
52		ordtrest2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )
53	4, 1, 8, 52	ordtrest2lem 18938	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
54		df-rn 4958	. . . . . . . . . . 11 |- ran R = dom `' R
55		cnvtsr 15510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> `' R e. TosetRel )
56	1, 55	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' R e. TosetRel )
57	4	psrn 15497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. PosetRel -> X = ran R )
58	3, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X = ran R )
59	8, 58	sseqtrd 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ ran R )
60	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> X = ran R )
61		rabeq 3070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = ran R -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
63		vex 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
64		vex 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
65	63, 64	brcnv 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y `' R z <-> z R y )
66		vex 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
67	64, 66	brcnv 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z `' R x <-> x R z )
68	65, 67	anbi12ci 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ran R -> ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) ) )
70	69	rabbiia 3065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) }
71	62, 70	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } )
72	71, 52	eqsstr3d 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
73	72	ancom2s 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
74	54, 56, 59, 73	ordtrest2lem 18938	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
75		vex 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
76	75, 64	brcnv 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' R z <-> z R w )
77	76	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z R w <-> w `' R z )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z R w <-> w `' R z ) )
79	78	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z R w <-> -. w `' R z ) )
80	58, 79	rabeqbidv 3071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. X | -. z R w } = { w e. ran R | -. w `' R z } )
81	58, 80	mpteq12dv 4477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
82	81	rneqd 5174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
83		cnvin 5351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i `' ( A X. A ) )
84		cnvxp 5362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
85	84	ineq2i 3656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' R i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
86	83, 85	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
87	86	fveq2i 5801	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) )
88		psss 15502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
89	3, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
90		ordtcnv 18936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
91	89, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
92	87, 91	syl5reqr 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
93	92	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
94	82, 93	raleqbidv 3035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
95	74, 94	mpbird 232	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
96		ralunb 3644	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
97	53, 95, 96	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
98		ralunb 3644	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
99	51, 97, 98	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
100		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
101	100	fmpt 5972	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
102	99, 101	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
103		frn 5672	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
104	102, 103	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
105	34, 104	eqsstrd 3497	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
106		tgfiss 18727	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
107	27, 105, 106	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
108	23, 107	eqsstrd 3497	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
109	11, 108	eqssd 3480	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2798   {crab 2802   _Vcvv 3076   u. cun 3433   i^i cin 3434   C_ wss 3435   {csn 3984   U.cuni 4198   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   X. cxp 4945   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   ran crn 4948   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   ficfi 7770   ↾_t crest 14477   topGenctg 14494  ordTopcordt 14555   PosetRelcps 15486   TosetRel ctsr 15487   Topctop 18629  TopOnctopon 18630   TopBasesctb 18633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-fin 7423  df-fi 7771  df-rest 14479  df-topgen 14500  df-ordt 14557  df-ps 15488  df-tsr 15489  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637

This theorem is referenced by:  ordtrestixx  18957  cnvordtrestixx  26487