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Theorem ordtrest2 20297
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi , +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1  |-  X  =  dom  R
ordtrest2.2  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
ordtrest2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
ordtrest2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    ph, x, y, z    x, R, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
2 tsrps 16545 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  PosetRel )
4 ordtrest2.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
5 dmexg 6743 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
61, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
74, 6syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
8 ordtrest2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
97, 8ssexd 4543 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
10 ordtrest 20295 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  _V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
113, 9, 10syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
12 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  =  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )
13 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w }
)  =  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w }
)
144, 12, 13ordtval 20282 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) ) )
151, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) ) )
1615oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
17 fibas 20070 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )  e.  TopBases
18 tgrest 20252 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `
 ( ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
1917, 9, 18sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
2016, 19eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  (
topGen `  ( ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) ) )
21 firest 15409 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A )
2221fveq2i 5882 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )
2320, 22syl6eqr 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  (
topGen `  ( fi `  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) ) )
24 inex1g 4539 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
251, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
26 ordttop 20293 . . . . 5  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
2725, 26syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
284, 12, 13ordtuni 20283 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )
291, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )
3029, 7eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
31 uniexb 6620 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
3230, 31sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
33 restval 15403 . . . . . 6  |-  ( ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  =  ran  (
v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
3432, 9, 33syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  =  ran  (
v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
35 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
368, 35sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  =  A )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
3837ordttopon 20286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
3925, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
404psssdm 16540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  C_  X )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
413, 8, 40syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
4241fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (TopOn `  A
) )
4339, 42eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
44 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
4636, 45eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
47 elsni 3985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { X }  ->  v  =  X )
4847ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { X }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( X  i^i  A ) )
4948eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { X }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( X  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5046, 49syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { X }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5150ralrimiv 2808 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { X }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
52 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
534, 1, 8, 52ordtrest2lem 20296 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
54 df-rn 4850 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  =  dom  `' R
55 cnvtsr 16546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  `' R  e.  TosetRel  )
561, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' R  e.  TosetRel  )
574psrn 16533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
583, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  =  ran  R
)
598, 58sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ran  R )
6058adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  X  =  ran  R )
61 rabeq 3024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  ran  R  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( x R z  /\  z R y ) } )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( x R z  /\  z R y ) } )
63 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
64 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
6563, 64brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
66 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
6764, 66brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
6865, 67anbi12ci 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y `' R z  /\  z `' R x )  <->  ( x R z  /\  z R y ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ran  R  -> 
( ( y `' R z  /\  z `' R x )  <->  ( x R z  /\  z R y ) ) )
7069rabbiia 3019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ran  R  | 
( y `' R
z  /\  z `' R x ) }  =  { z  e. 
ran  R  |  (
x R z  /\  z R y ) }
7162, 70syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } )
7271, 52eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } 
C_  A )
7372ancom2s 819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } 
C_  A )
7454, 56, 59, 73ordtrest2lem 20296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  ran  R 
|->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
75 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
7675, 64brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `' R z  <->  z R w )
7776bicomi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z R w  <->  w `' R z )
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z R w  <-> 
w `' R z ) )
7978notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z R w  <->  -.  w `' R z ) )
8058, 79rabeqbidv 3026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  -.  z R w }  =  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } )
8158, 80mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } )  =  ( z  e.  ran  R  |->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) )
8281rneqd 5068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } )  =  ran  ( z  e.  ran  R  |->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R
z } ) )
83 cnvin 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  `' ( A  X.  A ) )
84 cnvxp 5260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
8584ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' R  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) )
8683, 85eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  ( A  X.  A
) )
8786fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
88 psss 16538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
893, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel )
90 ordtcnv 20294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9287, 91syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9392eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
9482, 93raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  ran  R 
|->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9574, 94mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
96 ralunb 3606 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9753, 95, 96sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
98 ralunb 3606 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. v  e.  { X }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9951, 97, 98sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
100 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )  =  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )
101100fmpt 6058 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10299, 101sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
103 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
104102, 103syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10534, 104eqsstrd 3452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
106 tgfiss 20084 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  (
( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) ) 
C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10727, 105, 106syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10823, 107eqsstrd 3452 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
10911, 108eqssd 3435 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   ↾t crest 15397   topGenctg 15414  ordTopcordt 15475   PosetRelcps 16522    TosetRel ctsr 16523   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
This theorem is referenced by:  ordtrestixx  20315  cnvordtrestixx  28793
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