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Theorem ordtrest2 19468
Description: An interval-closed set  A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in  RR, but in other sets like  QQ there are interval-closed sets like  ( pi , +oo )  i^i  QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1  |-  X  =  dom  R
ordtrest2.2  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
ordtrest2.3  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
ordtrest2.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
Assertion
Ref Expression
ordtrest2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    ph, x, y, z    x, R, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  TosetRel  )
2 tsrps 15701 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  PosetRel )
4 ordtrest2.1 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
5 dmexg 6712 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
61, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
74, 6syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
8 ordtrest2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  X )
97, 8ssexd 4594 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
10 ordtrest 19466 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  _V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
113, 9, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
12 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  =  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )
13 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w }
)  =  ran  (
z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w }
)
144, 12, 13ordtval 19453 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) ) )
151, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) ) )
1615oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
17 fibas 19242 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )  e.  TopBases
18 tgrest 19423 . . . . . 6  |-  ( ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )  e.  TopBases  /\  A  e.  _V )  ->  ( topGen `
 ( ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
1917, 9, 18sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ) )t  A ) )
2016, 19eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  (
topGen `  ( ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) ) )
21 firest 14681 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) )  =  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A )
2221fveq2i 5867 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) )  =  ( topGen `  (
( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )t  A ) )
2320, 22syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  =  (
topGen `  ( fi `  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) ) )
24 inex1g 4590 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
251, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V )
26 ordttop 19464 . . . . 5  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  Top )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top )
284, 12, 13ordtuni 19454 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )
291, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) )
3029, 7eqeltrrd 2556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
31 uniexb 6588 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
3230, 31sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V )
33 restval 14675 . . . . . 6  |-  ( ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  =  ran  (
v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
3432, 9, 33syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  =  ran  (
v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
35 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
368, 35sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  =  A )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
3837ordttopon 19457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
3925, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
404psssdm 15696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  C_  X )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
413, 8, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  A )
4241fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (TopOn `  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (TopOn `  A
) )
4339, 42eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e.  (TopOn `  A )
)
44 toponmax 19193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
4636, 45eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
47 elsni 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  { X }  ->  v  =  X )
4847ineq1d 3699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  { X }  ->  ( v  i^i  A
)  =  ( X  i^i  A ) )
4948eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  { X }  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( X  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
5046, 49syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( v  e.  { X }  ->  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
5150ralrimiv 2876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  { X }  ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
52 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  C_  A )
534, 1, 8, 52ordtrest2lem 19467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
54 df-rn 5010 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  =  dom  `' R
55 cnvtsr 15702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  `' R  e.  TosetRel  )
561, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' R  e.  TosetRel  )
574psrn 15689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
583, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  =  ran  R
)
598, 58sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  ran  R )
6058adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  X  =  ran  R )
61 rabeq 3107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  ran  R  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( x R z  /\  z R y ) } )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( x R z  /\  z R y ) } )
63 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
64 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
6563, 64brcnv 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y `' R z  <->  z R
y )
66 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
6764, 66brcnv 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z `' R x  <->  x R
z )
6865, 67anbi12ci 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y `' R z  /\  z `' R x )  <->  ( x R z  /\  z R y ) )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ran  R  -> 
( ( y `' R z  /\  z `' R x )  <->  ( x R z  /\  z R y ) ) )
7069rabbiia 3102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  ran  R  | 
( y `' R
z  /\  z `' R x ) }  =  { z  e. 
ran  R  |  (
x R z  /\  z R y ) }
7162, 70syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  X  |  ( x R z  /\  z R y ) }  =  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } )
7271, 52eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  ->  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } 
C_  A )
7372ancom2s 800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A ) )  ->  { z  e.  ran  R  |  ( y `' R z  /\  z `' R x ) } 
C_  A )
7454, 56, 59, 73ordtrest2lem 19467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  ran  R 
|->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
75 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
7675, 64brcnv 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w `' R z  <->  z R w )
7776bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z R w  <->  w `' R z )
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z R w  <-> 
w `' R z ) )
7978notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -.  z R w  <->  -.  w `' R z ) )
8058, 79rabeqbidv 3108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { w  e.  X  |  -.  z R w }  =  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } )
8158, 80mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } )  =  ( z  e.  ran  R  |->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) )
8281rneqd 5228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } )  =  ran  ( z  e.  ran  R  |->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R
z } ) )
83 cnvin 5411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  `' ( A  X.  A ) )
84 cnvxp 5422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
8584ineq2i 3697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' R  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) )
8683, 85eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' R  i^i  ( A  X.  A
) )
8786fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) )
88 psss 15694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  PosetRel )
893, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel )
90 ordtcnv 19465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (ordTop `  `' ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9287, 91syl5reqr 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
9392eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) ) )
9482, 93raleqbidv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  A. v  e.  ran  ( z  e.  ran  R 
|->  { w  e.  ran  R  |  -.  w `' R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( `' R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9574, 94mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
96 ralunb 3685 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <-> 
( A. v  e. 
ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. v  e.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9753, 95, 96sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i 
A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
98 ralunb 3685 . . . . . . . 8  |-  ( A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( A. v  e.  { X }  (
v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. v  e.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) ) )
9951, 97, 98sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A )  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
100 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )  =  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )
101100fmpt 6040 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) ( v  i^i  A
)  e.  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  <->  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10299, 101sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
103 frn 5735 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) ) : ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) --> (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ran  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) ) 
|->  ( v  i^i  A
) )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
104102, 103syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( v  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )  |->  ( v  i^i  A ) ) 
C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10534, 104eqsstrd 3538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
106 tgfiss 19256 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  e. 
Top  /\  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  (
( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) ) 
C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10727, 105, 106syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { X }  u.  ( ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  w R z } )  u.  ran  ( z  e.  X  |->  { w  e.  X  |  -.  z R w } ) ) )t  A ) ) )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
10823, 107eqsstrd 3538 . 2  |-  ( ph  ->  ( (ordTop `  R
)t 
A )  C_  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
10911, 108eqssd 3521 1  |-  ( ph  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ficfi 7866   ↾t crest 14669   topGenctg 14686  ordTopcordt 14747   PosetRelcps 15678    TosetRel ctsr 15679   Topctop 19158  TopOnctopon 19159   TopBasesctb 19162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-ordt 14749  df-ps 15680  df-tsr 15681  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166
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