Theorem ordtrest2 17222

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	|- X = dom R
ordtrest2.2	|- ( ph -> R e. TosetRel )
ordtrest2.3	|- ( ph -> A C_ X )
ordtrest2.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2	|- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ph, x, y, z   x, R, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. TosetRel )
2		tsrps 14608	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( ph -> R e. PosetRel )
4		ordtrest2.1	. . . . 5 |- X = dom R
5		dmexg 5089	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
6	1, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> dom R e. _V )
7	4, 6	syl5eqel 2488	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
8		ordtrest2.3	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
9	7, 8	ssexd 4310	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
10		ordtrest 17220	. . 3 |- ( ( R e. PosetRel /\ A e. _V ) -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
12		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } )
13		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } )
14	4, 12, 13	ordtval 17207	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
15	1, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
16	15	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
17		fibas 16997	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases
18		tgrest 17177	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
19	17, 9, 18	sylancr 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
20	16, 19	eqtr4d 2439	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
21		firest 13615	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A )
22	21	fveq2i 5690	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) )
23	20, 22	syl6eqr 2454	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
24		inex1g 4306	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
25	1, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
26		ordttop 17218	. . . . 5 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
28	4, 12, 13	ordtuni 17208	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
29	1, 28	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
30	29, 7	eqeltrrd 2479	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
31		uniexb 4711	. . . . . . 7 |- ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
32	30, 31	sylibr 204	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
33		restval 13609	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
34	32, 9, 33	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
35		dfss1 3505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ X <-> ( X i^i A ) = A )
36	8, 35	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X i^i A ) = A )
37		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( R i^i ( A X. A ) ) = dom ( R i^i ( A X. A ) )
38	37	ordttopon 17211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
39	25, 38	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
40	4	psssdm 14603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. PosetRel /\ A C_ X ) -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
41	3, 8, 40	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
42	41	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
43	39, 42	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
44		toponmax 16948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
46	36, 45	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
47		elsni 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { X } -> v = X )
48	47	ineq1d 3501	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { X } -> ( v i^i A ) = ( X i^i A ) )
49	48	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { X } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
50	46, 49	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { X } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
51	50	ralrimiv 2748	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
52		ordtrest2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )
53	4, 1, 8, 52	ordtrest2lem 17221	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
54		df-rn 4848	. . . . . . . . . . 11 |- ran R = dom `' R
55		cnvtsr 14609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> `' R e. TosetRel )
56	1, 55	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' R e. TosetRel )
57	4	psrn 14596	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. PosetRel -> X = ran R )
58	3, 57	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X = ran R )
59	8, 58	sseqtrd 3344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ ran R )
60	58	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> X = ran R )
61		rabeq 2910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = ran R -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
63		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
64		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
65	63, 64	brcnv 5014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y `' R z <-> z R y )
66		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
67	64, 66	brcnv 5014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z `' R x <-> x R z )
68	65, 67	anbi12ci 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ran R -> ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) ) )
70	69	rabbiia 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) }
71	62, 70	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } )
72	71, 52	eqsstr3d 3343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
73	72	ancom2s 778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
74	54, 56, 59, 73	ordtrest2lem 17221	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
75		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
76	75, 64	brcnv 5014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' R z <-> z R w )
77	76	bicomi 194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z R w <-> w `' R z )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z R w <-> w `' R z ) )
79	78	notbid 286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z R w <-> -. w `' R z ) )
80	58, 79	rabeqbidv 2911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. X | -. z R w } = { w e. ran R | -. w `' R z } )
81	58, 80	mpteq12dv 4247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
82	81	rneqd 5056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
83		cnvin 5238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i `' ( A X. A ) )
84		cnvxp 5249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
85	84	ineq2i 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' R i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
86	83, 85	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
87	86	fveq2i 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) )
88		psss 14601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
89	3, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
90		ordtcnv 17219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
91	89, 90	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
92	87, 91	syl5reqr 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
93	92	eleq2d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
94	82, 93	raleqbidv 2876	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
95	74, 94	mpbird 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
96		ralunb 3488	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
97	53, 95, 96	sylanbrc 646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
98		ralunb 3488	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
99	51, 97, 98	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
100		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
101	100	fmpt 5849	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
102	99, 101	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
103		frn 5556	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
104	102, 103	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
105	34, 104	eqsstrd 3342	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
106		tgfiss 17011	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
107	27, 105, 106	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
108	23, 107	eqsstrd 3342	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
109	11, 108	eqssd 3325	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ficfi 7373   ↾_t crest 13603   topGenctg 13620  ordTopcordt 13676   PosetRelcps 14579   TosetRel ctsr 14580   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   TopBasesctb 16917

This theorem is referenced by:  ordtrestixx  17240  cnvordtrestixx  24264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-ordt 13680  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921