Theorem ordtrest2 20297

Description: An interval-closed set A in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in RR, but in other sets like QQ there are interval-closed sets like ( pi , +oo ) i^i QQ that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	|- X = dom R
ordtrest2.2	|- ( ph -> R e. TosetRel )
ordtrest2.3	|- ( ph -> A C_ X )
ordtrest2.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2	|- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ph, x, y, z   x, R, y, z   x, X, y, z

Proof of Theorem ordtrest2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtrest2.2	. . . 4 |- ( ph -> R e. TosetRel )
2		tsrps 16545	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> R e. PosetRel )
4		ordtrest2.1	. . . . 5 |- X = dom R
5		dmexg 6743	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom R e. _V )
7	4, 6	syl5eqel 2553	. . . 4 |- ( ph -> X e. _V )
8		ordtrest2.3	. . . 4 |- ( ph -> A C_ X )
9	7, 8	ssexd 4543	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
10		ordtrest 20295	. . 3 |- ( ( R e. PosetRel /\ A e. _V ) -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) C_ ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )
12		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } )
13		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } )
14	4, 12, 13	ordtval 20282	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> (ordTop ` R ) = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) )
16	15	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
17		fibas 20070	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases
18		tgrest 20252	. . . . . 6 |- ( ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) e. TopBases /\ A e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
19	17, 9, 18	sylancr 676	. . . . 5 |- ( ph -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ) ↾t A ) )
20	16, 19	eqtr4d 2508	. . . 4 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) ) )
21		firest 15409	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) = ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A )
22	21	fveq2i 5882	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ) ↾t A ) )
23	20, 22	syl6eqr 2523	. . 3 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) )
24		inex1g 4539	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
25	1, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
26		ordttop 20293	. . . . 5 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
27	25, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
28	4, 12, 13	ordtuni 20283	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
29	1, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) )
30	29, 7	eqeltrrd 2550	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
31		uniexb 6620	. . . . . . 7 |- ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
32	30, 31	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V )
33		restval 15403	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
34	32, 9, 33	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) = ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) )
35		dfss1 3628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ X <-> ( X i^i A ) = A )
36	8, 35	sylib 201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X i^i A ) = A )
37		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ( R i^i ( A X. A ) ) = dom ( R i^i ( A X. A ) )
38	37	ordttopon 20286	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
39	25, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
40	4	psssdm 16540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. PosetRel /\ A C_ X ) -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
41	3, 8, 40	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
42	41	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
43	39, 42	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
44		toponmax 20020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
46	36, 45	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
47		elsni 3985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. { X } -> v = X )
48	47	ineq1d 3624	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. { X } -> ( v i^i A ) = ( X i^i A ) )
49	48	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { X } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( X i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
50	46, 49	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( v e. { X } -> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
51	50	ralrimiv 2808	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
52		ordtrest2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )
53	4, 1, 8, 52	ordtrest2lem 20296	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
54		df-rn 4850	. . . . . . . . . . 11 |- ran R = dom `' R
55		cnvtsr 16546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> `' R e. TosetRel )
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' R e. TosetRel )
57	4	psrn 16533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. PosetRel -> X = ran R )
58	3, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X = ran R )
59	8, 58	sseqtrd 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ ran R )
60	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> X = ran R )
61		rabeq 3024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = ran R -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) } )
63		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
64		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
65	63, 64	brcnv 5022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y `' R z <-> z R y )
66		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x e. _V
67	64, 66	brcnv 5022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z `' R x <-> x R z )
68	65, 67	anbi12ci 712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ran R -> ( ( y `' R z /\ z `' R x ) <-> ( x R z /\ z R y ) ) )
70	69	rabbiia 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } = { z e. ran R | ( x R z /\ z R y ) }
71	62, 70	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } = { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } )
72	71, 52	eqsstr3d 3453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
73	72	ancom2s 819	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> { z e. ran R | ( y `' R z /\ z `' R x ) } C_ A )
74	54, 56, 59, 73	ordtrest2lem 20296	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
75		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- w e. _V
76	75, 64	brcnv 5022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w `' R z <-> z R w )
77	76	bicomi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z R w <-> w `' R z )
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( z R w <-> w `' R z ) )
79	78	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -. z R w <-> -. w `' R z ) )
80	58, 79	rabeqbidv 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { w e. X | -. z R w } = { w e. ran R | -. w `' R z } )
81	58, 80	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
82	81	rneqd 5068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) = ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) )
83		cnvin 5249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i `' ( A X. A ) )
84		cnvxp 5260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- `' ( A X. A ) = ( A X. A )
85	84	ineq2i 3622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' R i^i `' ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
86	83, 85	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( R i^i ( A X. A ) ) = ( `' R i^i ( A X. A ) )
87	86	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) )
88		psss 16538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. PosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
89	3, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel )
90		ordtcnv 20294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. PosetRel -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (ordTop ` `' ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
92	87, 91	syl5reqr 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) )
93	92	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
94	82, 93	raleqbidv 2987	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. v e. ran ( z e. ran R |-> { w e. ran R | -. w `' R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( `' R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
95	74, 94	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
96		ralunb 3606	. . . . . . . . 9 |- ( A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
97	53, 95, 96	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
98		ralunb 3606	. . . . . . . 8 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( A. v e. { X } ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) /\ A. v e. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
99	51, 97, 98	sylanbrc 677	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
100		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) = ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) )
101	100	fmpt 6058	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
102	99, 101	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
103		frn 5747	. . . . . 6 |- ( ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) : ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) --> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( v e. ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) |-> ( v i^i A ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
105	34, 104	eqsstrd 3452	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
106		tgfiss 20084	. . . 4 |- ( ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top /\ ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
107	27, 105, 106	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { X } u. ( ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) u. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. z R w } ) ) ) ↾t A ) ) ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
108	23, 107	eqsstrd 3452	. 2 |- ( ph -> ( (ordTop ` R ) ↾t A ) C_ (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
109	11, 108	eqssd 3435	1 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) = ( (ordTop ` R ) ↾t A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   ↾_t crest 15397   topGenctg 15414  ordTopcordt 15475   PosetRelcps 16522   TosetRel ctsr 16523   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopBasesctb 19997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000

This theorem is referenced by:  ordtrestixx  20315  cnvordtrestixx  28793