Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ordtrest2 20213
 Description: An interval-closed set in a total order has the same subspace topology as the restricted order topology. (An interval-closed set is the same thing as an open or half-open or closed interval in , but in other sets like there are interval-closed sets like that are not intervals.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtrest2.1
ordtrest2.2
ordtrest2.3
ordtrest2.4
Assertion
Ref Expression
ordtrest2 ordTop ordTopt
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem ordtrest2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtrest2.2 . . . 4
2 tsrps 16460 . . . 4
31, 2syl 17 . . 3
4 ordtrest2.1 . . . . 5
5 dmexg 6721 . . . . . 6
61, 5syl 17 . . . . 5
74, 6syl5eqel 2532 . . . 4
8 ordtrest2.3 . . . 4
97, 8ssexd 4549 . . 3
10 ordtrest 20211 . . 3 ordTop ordTopt
113, 9, 10syl2anc 666 . 2 ordTop ordTopt
12 eqid 2450 . . . . . . . 8
13 eqid 2450 . . . . . . . 8
144, 12, 13ordtval 20198 . . . . . . 7 ordTop
151, 14syl 17 . . . . . 6 ordTop
1615oveq1d 6303 . . . . 5 ordTopt t
17 fibas 19986 . . . . . 6
18 tgrest 20168 . . . . . 6 t t
1917, 9, 18sylancr 668 . . . . 5 t t
2016, 19eqtr4d 2487 . . . 4 ordTopt t
21 firest 15324 . . . . 5 t t
2221fveq2i 5866 . . . 4 t t
2320, 22syl6eqr 2502 . . 3 ordTopt t
24 inex1g 4545 . . . . . 6
251, 24syl 17 . . . . 5
26 ordttop 20209 . . . . 5 ordTop
2725, 26syl 17 . . . 4 ordTop
284, 12, 13ordtuni 20199 . . . . . . . . 9
291, 28syl 17 . . . . . . . 8
3029, 7eqeltrrd 2529 . . . . . . 7
31 uniexb 6598 . . . . . . 7
3230, 31sylibr 216 . . . . . 6
33 restval 15318 . . . . . 6 t
3432, 9, 33syl2anc 666 . . . . 5 t
35 dfss1 3636 . . . . . . . . . . . 12
368, 35sylib 200 . . . . . . . . . . 11
37 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837ordttopon 20202 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop TopOn
3925, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop TopOn
404psssdm 16455 . . . . . . . . . . . . . . 15
413, 8, 40syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14
4241fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
4339, 42eleqtrd 2530 . . . . . . . . . . . 12 ordTop TopOn
44 toponmax 19936 . . . . . . . . . . . 12 ordTop TopOn ordTop
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 ordTop
4636, 45eqeltrd 2528 . . . . . . . . . 10 ordTop
47 elsni 3992 . . . . . . . . . . . 12
4847ineq1d 3632 . . . . . . . . . . 11
4948eleq1d 2512 . . . . . . . . . 10 ordTop ordTop
5046, 49syl5ibrcom 226 . . . . . . . . 9 ordTop
5150ralrimiv 2799 . . . . . . . 8 ordTop
52 ordtrest2.4 . . . . . . . . . 10
534, 1, 8, 52ordtrest2lem 20212 . . . . . . . . 9 ordTop
54 df-rn 4844 . . . . . . . . . . 11
55 cnvtsr 16461 . . . . . . . . . . . 12
561, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11
574psrn 16448 . . . . . . . . . . . . 13
583, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12
598, 58sseqtrd 3467 . . . . . . . . . . 11
6058adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 rabeq 3037 . . . . . . . . . . . . . . 15
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
63 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6563, 64brcnv 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6764, 66brcnv 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67anbi12ci 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069rabbiia 3032 . . . . . . . . . . . . . 14
7162, 70syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . 13
7271, 52eqsstr3d 3466 . . . . . . . . . . . 12
7372ancom2s 810 . . . . . . . . . . 11
7454, 56, 59, 73ordtrest2lem 20212 . . . . . . . . . 10 ordTop
75 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7675, 64brcnv 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
7978notbid 296 . . . . . . . . . . . . . 14
8058, 79rabeqbidv 3039 . . . . . . . . . . . . 13
8158, 80mpteq12dv 4480 . . . . . . . . . . . 12
8281rneqd 5061 . . . . . . . . . . 11
83 cnvin 5242 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 cnvxp 5253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584ineq2i 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 85eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
8786fveq2i 5866 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop
88 psss 16453 . . . . . . . . . . . . . . 15
893, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
90 ordtcnv 20210 . . . . . . . . . . . . . 14 ordTop ordTop
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ordTop ordTop
9287, 91syl5reqr 2499 . . . . . . . . . . . 12 ordTop ordTop
9392eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11 ordTop ordTop
9482, 93raleqbidv 3000 . . . . . . . . . 10 ordTop ordTop
9574, 94mpbird 236 . . . . . . . . 9 ordTop
96 ralunb 3614 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop
9753, 95, 96sylanbrc 669 . . . . . . . 8 ordTop
98 ralunb 3614 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop
9951, 97, 98sylanbrc 669 . . . . . . 7 ordTop
100 eqid 2450 . . . . . . . 8
101100fmpt 6041 . . . . . . 7 ordTop ordTop
10299, 101sylib 200 . . . . . 6 ordTop
103 frn 5733 . . . . . 6 ordTop ordTop
104102, 103syl 17 . . . . 5 ordTop
10534, 104eqsstrd 3465 . . . 4 t ordTop
106 tgfiss 20000 . . . 4 ordTop t ordTop t ordTop
10727, 105, 106syl2anc 666 . . 3 t ordTop
10823, 107eqsstrd 3465 . 2 ordTopt ordTop
10911, 108eqssd 3448 1 ordTop ordTopt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  crab 2740  cvv 3044   cun 3401   cin 3402   wss 3403  csn 3967  cuni 4197   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cxp 4831  ccnv 4832   cdm 4833   crn 4834  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cfi 7921   ↾t crest 15312  ctg 15329  ordTopcordt 15390  cps 16437   ctsr 16438  ctop 19910  TopOnctopon 19911  ctb 19913 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-fin 7570  df-fi 7922  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-ordt 15392  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916 This theorem is referenced by:  ordtrestixx  20231  cnvordtrestixx  28712
 Copyright terms: Public domain W3C validator