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Theorem ordtrest 18828
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtrest  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )

Proof of Theorem ordtrest
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 4456 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
3 eqid 2443 . . . 4  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )
63, 4, 5ordtval 18815 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) ) )
72, 6syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) ) )
8 ordttop 18826 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
9 resttop 18786 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  (
(ordTop `  R )t  A
)  e.  Top )
108, 9sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
(ordTop `  R )t  A
)  e.  Top )
11 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  dom  R  =  dom  R
1211psssdm2 15406 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( dom  R  i^i  A
) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  R  i^i  A ) )
148adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
15 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
1611ordttopon 18819 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
18 toponmax 18555 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  e.  (ordTop `  R ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  dom  R  e.  (ordTop `  R
) )
20 elrestr 14388 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V  /\  dom  R  e.  (ordTop `  R )
)  ->  ( dom  R  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
2114, 15, 19, 20syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( dom  R  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
2213, 21eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
2322snssd 4039 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
24 rabeq 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  R  i^i  A )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
2513, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
2613, 25mpteq12dv 4391 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
2726rneqd 5088 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
28 inrab2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y R x }
29 inss2 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
R  i^i  A )  C_  A
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )
3129, 30sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  y  e.  A )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )
3329, 32sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  x  e.  A )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  x  e.  A )
35 brinxp 4922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3631, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  (
y R x  <->  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3736notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3837rabbidva 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y R x }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )
3928, 38syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )
4014adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  (ordTop `  R
)  e.  Top )
4115adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  A  e.  V )
42 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  R  e. 
PosetRel )
43 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
R  i^i  A )  C_ 
dom  R
4443sseli 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  ->  x  e.  dom  R )
4511ordtopn1 18820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
4642, 44, 45syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
47 elrestr 14388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V  /\  { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R )
)  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
4840, 41, 46, 47syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
4939, 48eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  e.  ( (ordTop `  R )t  A
) )
50 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
5149, 50fmptd 5888 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A ) )
52 frn 5586 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
5351, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
5427, 53eqsstrd 3411 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
55 rabeq 2987 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  R  i^i  A )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
5613, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
5713, 56mpteq12dv 4391 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
5857rneqd 5088 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
59 inrab2 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x R y }
60 brinxp 4922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x R y  <-> 
x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
6134, 31, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  (
x R y  <->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
6261notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
6362rabbidva 2984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x R y }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )
6459, 63syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )
6511ordtopn2 18821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
6642, 44, 65syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
67 elrestr 14388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V  /\  { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R
) )  ->  ( { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
6840, 41, 66, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
6964, 68eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  e.  ( (ordTop `  R )t  A
) )
70 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
7169, 70fmptd 5888 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A ) )
72 frn 5586 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7371, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7458, 73eqsstrd 3411 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7554, 74unssd 3553 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7623, 75unssd 3553 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
77 tgfiss 18618 . . 3  |-  ( ( ( (ordTop `  R
)t 
A )  e.  Top  /\  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7810, 76, 77syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
797, 78eqsstrd 3411 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740   _Vcvv 2993    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   dom cdm 4861   ran crn 4862   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ficfi 7681   ↾t crest 14380   topGenctg 14397  ordTopcordt 14458   PosetRelcps 15389   Topctop 18520  TopOnctopon 18521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-fin 7335  df-fi 7682  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-ordt 14460  df-ps 15391  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528
This theorem is referenced by:  ordtrest2  18830
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