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Theorem ordtrest 20295
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtrest  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )

Proof of Theorem ordtrest
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 4539 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  _V )
21adantr 472 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
3 eqid 2471 . . . 4  |-  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )
5 eqid 2471 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )
63, 4, 5ordtval 20282 . . 3  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) ) )
72, 6syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) ) )
8 ordttop 20293 . . . 4  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
9 resttop 20253 . . . 4  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  (
(ordTop `  R )t  A
)  e.  Top )
108, 9sylan 479 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
(ordTop `  R )t  A
)  e.  Top )
11 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  dom  R  =  dom  R
1211psssdm2 16539 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  =  ( dom  R  i^i  A
) )
1312adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  R  i^i  A ) )
148adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
15 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
1611ordttopon 20286 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
1716adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R ) )
18 toponmax 20020 . . . . . . . 8  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  dom  R )  ->  dom  R  e.  (ordTop `  R ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  dom  R  e.  (ordTop `  R
) )
20 elrestr 15405 . . . . . . 7  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V  /\  dom  R  e.  (ordTop `  R )
)  ->  ( dom  R  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R
)t 
A ) )
2114, 15, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( dom  R  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
2213, 21eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
2322snssd 4108 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
24 rabeq 3024 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  R  i^i  A )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
2513, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
2613, 25mpteq12dv 4474 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
2726rneqd 5068 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  =  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) )
28 inrab2 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y R x }
29 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
R  i^i  A )  C_  A
30 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )
3129, 30sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  y  e.  A )
32 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )
3329, 32sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  x  e.  A )
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  x  e.  A )
35 brinxp 4902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( y R x  <-> 
y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x ) )
3631, 34, 35syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  (
y R x  <->  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3736notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x ) )
3837rabbidva 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y R x }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )
3928, 38syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )
4014adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  (ordTop `  R
)  e.  Top )
4115adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  A  e.  V )
42 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  R  e. 
PosetRel )
43 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
R  i^i  A )  C_ 
dom  R
4443sseli 3414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  ->  x  e.  dom  R )
4511ordtopn1 20287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
4642, 44, 45syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
47 elrestr 15405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V  /\  { y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R )
)  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
4840, 41, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  y R x }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
4939, 48eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x }  e.  ( (ordTop `  R )t  A
) )
50 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)  =  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) x }
)
5149, 50fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A ) )
52 frn 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
5351, 52syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  y
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
5427, 53eqsstrd 3452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
55 rabeq 3024 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( dom  R  i^i  A )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
5613, 55syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
5713, 56mpteq12dv 4474 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
5857rneqd 5068 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  =  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )
59 inrab2 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x R y }
60 brinxp 4902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x R y  <-> 
x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y ) )
6134, 31, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  (
x R y  <->  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
6261notbid 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  PosetRel 
/\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A
) )  /\  y  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y ) )
6362rabbidva 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x R y }  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )
6459, 63syl5eq 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A )  =  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )
6511ordtopn2 20288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  x  e.  dom  R )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
6642, 44, 65syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
67 elrestr 15405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (ordTop `  R )  e.  Top  /\  A  e.  V  /\  { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R
) )  ->  ( { y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A
)  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
6840, 41, 66, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  ( {
y  e.  dom  R  |  -.  x R y }  i^i  A )  e.  ( (ordTop `  R )t  A ) )
6964, 68eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( dom  R  i^i  A ) )  ->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y }  e.  ( (ordTop `  R )t  A
) )
70 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )  =  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) y } )
7169, 70fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A ) )
72 frn 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( dom 
R  i^i  A )  |->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) : ( dom  R  i^i  A ) --> ( (ordTop `  R )t  A )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7371, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( dom  R  i^i  A ) 
|->  { y  e.  ( dom  R  i^i  A
)  |  -.  x
( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7458, 73eqsstrd 3452 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7554, 74unssd 3601 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7623, 75unssd 3601 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) ) }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
77 tgfiss 20084 . . 3  |-  ( ( ( (ordTop `  R
)t 
A )  e.  Top  /\  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
7810, 76, 77syl2anc 673 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) }  u.  ( ran  (
x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  y ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) x } )  u.  ran  ( x  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) 
|->  { y  e.  dom  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  |  -.  x ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) y } ) ) ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A
) )
797, 78eqsstrd 3452 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A  e.  V )  ->  (ordTop `  ( R  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( (ordTop `  R )t  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ficfi 7942   ↾t crest 15397   topGenctg 15414  ordTopcordt 15475   PosetRelcps 16522   Topctop 19994  TopOnctopon 19995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-ps 16524  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
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