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Theorem ordtprsval 28053
Description: Value of the order topology for a preset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtposval.e  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
ordtposval.f  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
Assertion
Ref Expression
ordtprsval  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsval
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
32inex1 4597 . . . 4  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
41, 3eqeltri 2541 . . 3  |-  .<_  e.  _V
5 eqid 2457 . . . 4  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
6 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)
7 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )
85, 6, 7ordtval 19816 . . 3  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
94, 8ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )
10 ordtNEW.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
1110, 1prsdm 28049 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
1211sneqd 4044 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  { dom  .<_  }  =  { B }
)
13 rabeq 3103 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
.<_  =  B  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1511, 14mpteq12dv 4535 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
1615rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
17 ordtposval.e . . . . . . 7  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
1816, 17syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  E )
19 rabeq 3103 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
.<_  =  B  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2111, 20mpteq12dv 4535 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
2221rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
23 ordtposval.f . . . . . . 7  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2422, 23syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  F )
2518, 24uneq12d 3655 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) )  =  ( E  u.  F ) )
2612, 25uneq12d 3655 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
2726fveq2d 5876 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F )
) ) )
2827fveq2d 5876 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F )
) ) ) )
299, 28syl5eq 2510 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594   ficfi 7888   Basecbs 14643   lecple 14718   topGenctg 14854  ordTopcordt 14915    Preset cpreset 15681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ordt 14917  df-preset 15683
This theorem is referenced by:  ordtcnvNEW  28055  ordtrest2NEW  28058  ordtconlem1  28059
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