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Theorem ordtprsval 28669
Description: Value of the order topology for a preset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtposval.e  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
ordtposval.f  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
Assertion
Ref Expression
ordtprsval  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsval
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2 fvex 5828 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
32inex1 4501 . . . 4  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
41, 3eqeltri 2496 . . 3  |-  .<_  e.  _V
5 eqid 2422 . . . 4  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
6 eqid 2422 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)
7 eqid 2422 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )
85, 6, 7ordtval 20140 . . 3  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
94, 8ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )
10 ordtNEW.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
1110, 1prsdm 28665 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
1211sneqd 3946 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  { dom  .<_  }  =  { B }
)
13 rabeq 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
.<_  =  B  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1511, 14mpteq12dv 4438 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
1615rneqd 5017 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
17 ordtposval.e . . . . . . 7  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
1816, 17syl6eqr 2474 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  E )
19 rabeq 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
.<_  =  B  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2011, 19syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2111, 20mpteq12dv 4438 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
2221rneqd 5017 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
23 ordtposval.f . . . . . . 7  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2422, 23syl6eqr 2474 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  F )
2518, 24uneq12d 3557 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) )  =  ( E  u.  F ) )
2612, 25uneq12d 3557 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
2726fveq2d 5822 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F )
) ) )
2827fveq2d 5822 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F )
) ) ) )
299, 28syl5eq 2468 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2712   _Vcvv 3016    u. cun 3370    i^i cin 3371   {csn 3934   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418    X. cxp 4787   dom cdm 4789   ran crn 4790   ` cfv 5537   ficfi 7870   Basecbs 15057   lecple 15133   topGenctg 15272  ordTopcordt 15333    Preset cpreset 16107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pr 4596
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fv 5545  df-ordt 15335  df-preset 16109
This theorem is referenced by:  ordtcnvNEW  28671  ordtrest2NEW  28674  ordtconlem1  28675
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