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Theorem ordtprsval 26353
Description: Value of the order topology for a preset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtposval.e  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
ordtposval.f  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
Assertion
Ref Expression
ordtprsval  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsval
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . 4  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2 fvex 5706 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
32inex1 4438 . . . 4  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
41, 3eqeltri 2513 . . 3  |-  .<_  e.  _V
5 eqid 2443 . . . 4  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
6 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )
85, 6, 7ordtval 18798 . . 3  |-  (  .<_  e.  _V  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
94, 8ax-mp 5 . 2  |-  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )
10 ordtNEW.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
1110, 1prsdm 26349 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
1211sneqd 3894 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  { dom  .<_  }  =  { B }
)
13 rabeq 2971 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
.<_  =  B  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1411, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1511, 14mpteq12dv 4375 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
1615rneqd 5072 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
17 ordtposval.e . . . . . . 7  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
1816, 17syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  E )
19 rabeq 2971 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
.<_  =  B  ->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2011, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2111, 20mpteq12dv 4375 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
2221rneqd 5072 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
23 ordtposval.f . . . . . . 7  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2422, 23syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  F )
2518, 24uneq12d 3516 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) )  =  ( E  u.  F ) )
2612, 25uneq12d 3516 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
2726fveq2d 5700 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F )
) ) )
2827fveq2d 5700 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F )
) ) ) )
299, 28syl5eq 2487 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2724   _Vcvv 2977    u. cun 3331    i^i cin 3332   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   ` cfv 5423   ficfi 7665   Basecbs 14179   lecple 14250   topGenctg 14381  ordTopcordt 14442    Preset cpreset 15101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-ordt 14444  df-preset 15103
This theorem is referenced by:  ordtcnvNEW  26355  ordtrest2NEW  26358  ordtconlem1  26359
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