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Theorem ordtprsuni 28136
Description: Value of the order topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtposval.e  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
ordtposval.f  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
Assertion
Ref Expression
ordtprsuni  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsuni
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 ordtNEW.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
31, 2prsdm 28131 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
43sneqd 4028 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  { dom  .<_  }  =  { B }
)
5 biidd 237 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  y  .<_  x  <->  -.  y  .<_  x ) )
63, 5rabeqbidv 3101 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
73, 6mpteq12dv 4517 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
87rneqd 5219 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
9 biidd 237 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  x  .<_  y  <->  -.  x  .<_  y ) )
103, 9rabeqbidv 3101 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
113, 10mpteq12dv 4517 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
1211rneqd 5219 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
138, 12uneq12d 3645 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
144, 13uneq12d 3645 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
1514unieqd 4245 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  = 
U. ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
16 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
1716inex1 4578 . . . . 5  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
182, 17eqeltri 2538 . . . 4  |-  .<_  e.  _V
19 eqid 2454 . . . . 5  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
20 eqid 2454 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)
21 eqid 2454 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )
2219, 20, 21ordtuni 19858 . . . 4  |-  (  .<_  e.  _V  ->  dom  .<_  =  U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
2318, 22ax-mp 5 . . 3  |-  dom  .<_  = 
U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
2423, 3syl5reqr 2510 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
25 ordtposval.e . . . . . 6  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
26 ordtposval.f . . . . . 6  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2725, 26uneq12i 3642 . . . . 5  |-  ( E  u.  F )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
2827a1i 11 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( E  u.  F )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
2928uneq2d 3644 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { B }  u.  ( E  u.  F ) )  =  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
3029unieqd 4245 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  U. ( { B }  u.  ( E  u.  F ) )  = 
U. ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
3115, 24, 303eqtr4d 2505 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3459    i^i cin 3460   {csn 4016   U.cuni 4235   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   dom cdm 4988   ran crn 4989   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791    Preset cpreset 15754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-preset 15756
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