Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtprsuni Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ordtprsuni 28799
Description: Value of the order topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
ordtposval.e  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
ordtposval.f  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
Assertion
Ref Expression
ordtprsuni  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .<_    x, B, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    E( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem ordtprsuni
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 ordtNEW.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
31, 2prsdm 28794 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  dom  .<_  =  B )
43sneqd 3971 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  { dom  .<_  }  =  { B }
)
5 biidd 245 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  y  .<_  x  <->  -.  y  .<_  x ) )
63, 5rabeqbidv 3026 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }  =  {
y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
73, 6mpteq12dv 4474 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
87rneqd 5068 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
9 biidd 245 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  x  .<_  y  <->  -.  x  .<_  y ) )
103, 9rabeqbidv 3026 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y }  =  {
y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
113, 10mpteq12dv 4474 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
1211rneqd 5068 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
138, 12uneq12d 3580 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
144, 13uneq12d 3580 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
1514unieqd 4200 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )  = 
U. ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
16 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
1716inex1 4537 . . . . 5  |-  ( ( le `  K )  i^i  ( B  X.  B ) )  e. 
_V
182, 17eqeltri 2545 . . . 4  |-  .<_  e.  _V
19 eqid 2471 . . . . 5  |-  dom  .<_  =  dom  .<_
20 eqid 2471 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)
21 eqid 2471 . . . . 5  |-  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } )
2219, 20, 21ordtuni 20283 . . . 4  |-  (  .<_  e.  _V  ->  dom  .<_  =  U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
2318, 22ax-mp 5 . . 3  |-  dom  .<_  = 
U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  dom  .<_  |->  { y  e.  dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
2423, 3syl5reqr 2520 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { dom  .<_  }  u.  ( ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e. 
dom  .<_  |->  { y  e. 
dom  .<_  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
25 ordtposval.e . . . . . 6  |-  E  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )
26 ordtposval.f . . . . . 6  |-  F  =  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
2725, 26uneq12i 3577 . . . . 5  |-  ( E  u.  F )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
2827a1i 11 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( E  u.  F )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
2928uneq2d 3579 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { B }  u.  ( E  u.  F ) )  =  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
3029unieqd 4200 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  U. ( { B }  u.  ( E  u.  F ) )  = 
U. ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
3115, 24, 303eqtr4d 2515 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  U. ( { B }  u.  ( E  u.  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275    Preset cpreset 16249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-preset 16251
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  28803
  Copyright terms: Public domain W3C validator