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Theorem ordtopn1 19563
Description: An upward ray  ( P , +oo ) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtopn1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtopn1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttopon.3 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  R
2 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)  =  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x }
)
41, 2, 3ordtuni 19559 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
6 dmexg 6726 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
71, 6syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  X  e.  _V )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  e.  _V )
95, 8eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
10 uniexb 6605 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
119, 10sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7891 . . . . 5  |-  ( ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
14 fibas 19347 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  e.  TopBases
15 bastg 19336 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  e.  TopBases  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . 4  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) )
1713, 16syl6ss 3521 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
181, 2, 3ordtval 19558 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) ) ) )
2017, 19sseqtr4d 3546 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )  C_  (ordTop `  R ) )
21 ssun2 3673 . . 3  |-  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )  C_  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
22 ssun1 3672 . . . 4  |-  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  C_  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) )
23 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
24 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } )
25 breq2 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  P  ->  (
x R y  <->  x R P ) )
2625notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  P  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R P ) )
2726rabbidv 3110 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  P  ->  { x  e.  X  |  -.  x R y }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } )
2827eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( y  =  P  ->  ( { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y }  <->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } ) )
2928rspcev 3219 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  X  /\  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R P } )  ->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3023, 24, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
31 rabexg 4603 . . . . . 6  |-  ( X  e.  _V  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  _V )
32 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )
3332elrnmpt 5255 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  _V  ->  ( {
x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } ) )
348, 31, 333syl 20 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. y  e.  X  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  { x  e.  X  |  -.  x R y } ) )
3530, 34mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ran  (
y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } ) )
3622, 35sseldi 3507 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
3721, 36sseldi 3507 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  ( { X }  u.  ( ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  x R y } )  u.  ran  ( y  e.  X  |->  { x  e.  X  |  -.  y R x } ) ) ) )
3820, 37sseldd 3510 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   {csn 4033   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   ` cfv 5594   ficfi 7882   topGenctg 14710  ordTopcordt 14771   TopBasesctb 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-topgen 14716  df-ordt 14773  df-bases 19270
This theorem is referenced by:  ordtopn3  19565  ordtcld1  19566  ordtrest  19571  ordtrest2lem  19572  ordthauslem  19752  ordthmeolem  20170  ordtrestNEW  27728  ordtrest2NEWlem  27729
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