Theorem ordthmeolem 19374

Description: Lemma for ordthmeo 19375. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	|- X = dom R
ordthmeo.2	|- Y = dom S

Assertion

Ref	Expression
ordthmeolem	|- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F e. ( (ordTop ` R ) Cn (ordTop ` S ) ) )

Proof of Theorem ordthmeolem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 6016	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( X , Y ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
2	1	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
3		f1of 5641	. . 3 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X --> Y )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F : X --> Y )
5		fimacnv 5835	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " Y ) = X )
6	4, 5	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( `' F " Y ) = X )
7		ordthmeo.1	. . . . . . . . 9 |- X = dom R
8	7	ordttopon 18797	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
9	8	3ad2ant1 1009	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
10		toponmax 18533	. . . . . . 7 |- ( (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) -> X e. (ordTop ` R ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> X e. (ordTop ` R ) )
12	6, 11	eqeltrd 2517	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( `' F " Y ) e. (ordTop ` R ) )
13		elsni 3902	. . . . . . 7 |- ( z e. { Y } -> z = Y )
14	13	imaeq2d 5169	. . . . . 6 |- ( z e. { Y } -> ( `' F " z ) = ( `' F " Y ) )
15	14	eleq1d 2509	. . . . 5 |- ( z e. { Y } -> ( ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( `' F " Y ) e. (ordTop ` R ) ) )
16	12, 15	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( z e. { Y } -> ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) )
17	16	ralrimiv 2798	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. { Y } ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
18		cnvimass 5189	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) C_ dom F
19		f1odm 5645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> dom F = X )
20	2, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> dom F = X )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> dom F = X )
22	18, 21	syl5sseq 3404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) C_ X )
23		dfss1 3555	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) C_ X <-> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) )
25	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
26		f1ofn 5642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> F Fn X )
28		elpreima 5823	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } ) ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } ) ) )
30		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> z e. X )
31	30	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } ) ) )
32	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> F : X --> Y )
33	32	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. Y )
34		breq1 4295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` z ) -> ( y S x <-> ( F ` z ) S x ) )
35	34	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` z ) -> ( -. y S x <-> -. ( F ` z ) S x ) )
36	35	elrab3 3118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. Y -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> -. ( F ` z ) S x ) )
37	33, 36	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> -. ( F ` z ) S x ) )
38		simpll3 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> F Isom R , S ( X , Y ) )
39		f1ocnv 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
40		f1of 5641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
41	2, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> `' F : Y --> X )
42	41	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F ` x ) e. X )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( `' F ` x ) e. X )
44		isorel 6017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Isom R , S ( X , Y ) /\ ( z e. X /\ ( `' F ` x ) e. X ) ) -> ( z R ( `' F ` x ) <-> ( F ` z ) S ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
45	38, 30, 43, 44	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z R ( `' F ` x ) <-> ( F ` z ) S ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
46		f1ocnvfv2 5984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
47	2, 46	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
49	48	breq2d 4304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) S ( F ` ( `' F ` x ) ) <-> ( F ` z ) S x ) )
50	45, 49	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z R ( `' F ` x ) <-> ( F ` z ) S x ) )
51	50	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( -. z R ( `' F ` x ) <-> -. ( F ` z ) S x ) )
52	37, 51	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> -. z R ( `' F ` x ) ) )
53	29, 31, 52	3bitr2d 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) <-> -. z R ( `' F ` x ) ) )
54	53	rabbi2dva 3558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) ) = { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } )
55	24, 54	eqtr3d 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) = { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } )
56		simpl1 991	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> R e. V )
57	7	ordtopn1 18798	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( `' F ` x ) e. X ) -> { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } e. (ordTop ` R ) )
58	56, 42, 57	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } e. (ordTop ` R ) )
59	55, 58	eqeltrd 2517	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) )
60	59	ralrimiva 2799	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) )
61		ordthmeo.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = dom S
62		dmexg 6509	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. W -> dom S e. _V )
63	61, 62	syl5eqel 2527	. . . . . . . . 9 |- ( S e. W -> Y e. _V )
64	63	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> Y e. _V )
65		rabexg 4442	. . . . . . . 8 |- ( Y e. _V -> { y e. Y | -. y S x } e. _V )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> { y e. Y | -. y S x } e. _V )
67	66	ralrimivw 2800	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y { y e. Y | -. y S x } e. _V )
68		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) = ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } )
69		imaeq2 5165	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. Y | -. y S x } -> ( `' F " z ) = ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) )
70	69	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. Y | -. y S x } -> ( ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) ) )
71	68, 70	ralrnmpt 5852	. . . . . 6 |- ( A. x e. Y { y e. Y | -. y S x } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) ) )
72	67, 71	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) ) )
73	60, 72	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
74		cnvimass 5189	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) C_ dom F
75	74, 21	syl5sseq 3404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) C_ X )
76		dfss1 3555	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) C_ X <-> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) )
77	75, 76	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) )
78		elpreima 5823	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } ) ) )
79	27, 78	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } ) ) )
80	30	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } ) ) )
81		breq2 4296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` z ) -> ( x S y <-> x S ( F ` z ) ) )
82	81	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` z ) -> ( -. x S y <-> -. x S ( F ` z ) ) )
83	82	elrab3 3118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. Y -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> -. x S ( F ` z ) ) )
84	33, 83	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> -. x S ( F ` z ) ) )
85		isorel 6017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Isom R , S ( X , Y ) /\ ( ( `' F ` x ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( `' F ` x ) R z <-> ( F ` ( `' F ` x ) ) S ( F ` z ) ) )
86	38, 43, 30, 85	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( `' F ` x ) R z <-> ( F ` ( `' F ` x ) ) S ( F ` z ) ) )
87	48	breq1d 4302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) S ( F ` z ) <-> x S ( F ` z ) ) )
88	86, 87	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( `' F ` x ) R z <-> x S ( F ` z ) ) )
89	88	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( -. ( `' F ` x ) R z <-> -. x S ( F ` z ) ) )
90	84, 89	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> -. ( `' F ` x ) R z ) )
91	79, 80, 90	3bitr2d 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) <-> -. ( `' F ` x ) R z ) )
92	91	rabbi2dva 3558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) ) = { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } )
93	77, 92	eqtr3d 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) = { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } )
94	7	ordtopn2 18799	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( `' F ` x ) e. X ) -> { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } e. (ordTop ` R ) )
95	56, 42, 94	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } e. (ordTop ` R ) )
96	93, 95	eqeltrd 2517	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) )
97	96	ralrimiva 2799	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) )
98		rabexg 4442	. . . . . . . 8 |- ( Y e. _V -> { y e. Y | -. x S y } e. _V )
99	64, 98	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> { y e. Y | -. x S y } e. _V )
100	99	ralrimivw 2800	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y { y e. Y | -. x S y } e. _V )
101		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) = ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } )
102		imaeq2 5165	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. Y | -. x S y } -> ( `' F " z ) = ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) )
103	102	eleq1d 2509	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. Y | -. x S y } -> ( ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) ) )
104	101, 103	ralrnmpt 5852	. . . . . 6 |- ( A. x e. Y { y e. Y | -. x S y } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) ) )
105	100, 104	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) ) )
106	97, 105	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
107		ralunb 3537	. . . 4 |- ( A. z e. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) /\ A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) )
108	73, 106, 107	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
109		ralunb 3537	. . 3 |- ( A. z e. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( A. z e. { Y } ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) /\ A. z e. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) )
110	17, 108, 109	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
111		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) = ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } )
112		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) = ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } )
113	61, 111, 112	ordtuni 18794	. . . . . 6 |- ( S e. W -> Y = U. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) )
114	113, 63	eqeltrrd 2518	. . . . 5 |- ( S e. W -> U. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
115		uniexb 6386	. . . . 5 |- ( ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V <-> U. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
116	114, 115	sylibr 212	. . . 4 |- ( S e. W -> ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
117	116	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
118	61, 111, 112	ordtval 18793	. . . 4 |- ( S e. W -> (ordTop ` S ) = ( topGen ` ( fi ` ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ) ) )
119	118	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> (ordTop ` S ) = ( topGen ` ( fi ` ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ) ) )
120	61	ordttopon 18797	. . . 4 |- ( S e. W -> (ordTop ` S ) e. (TopOn ` Y ) )
121	120	3ad2ant2 1010	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> (ordTop ` S ) e. (TopOn ` Y ) )
122	9, 117, 119, 121	subbascn 18858	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( F e. ( (ordTop ` R ) Cn (ordTop ` S ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) ) )
123	4, 110, 122	mpbir2and 913	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F e. ( (ordTop ` R ) Cn (ordTop ` S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   Isom wiso 5419  (class class class)co 6091   ficfi 7660   topGenctg 14376  ordTopcordt 14437  TopOnctopon 18499   Cn ccn 18828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-fin 7314  df-fi 7661  df-topgen 14382  df-ordt 14439  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cn 18831

This theorem is referenced by:  ordthmeo  19375  xrmulc1cn  26360