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Theorem ordthmeolem 20170
Description: Lemma for ordthmeo 20171. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1  |-  X  =  dom  R
ordthmeo.2  |-  Y  =  dom  S
Assertion
Ref Expression
ordthmeolem  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )

Proof of Theorem ordthmeolem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 6220 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
213ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
3 f1of 5822 . . 3  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F : X
--> Y )
5 fimacnv 6020 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( `' F " Y )  =  X )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( `' F " Y )  =  X )
7 ordthmeo.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  dom  R
87ordttopon 19562 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
983ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  (ordTop `  R
)  e.  (TopOn `  X ) )
10 toponmax 19298 . . . . . . 7  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  e.  (ordTop `  R )
)
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  X  e.  (ordTop `  R ) )
126, 11eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( `' F " Y )  e.  (ordTop `  R )
)
13 elsni 4058 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { Y }  ->  z  =  Y )
1413imaeq2d 5343 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { Y }  ->  ( `' F "
z )  =  ( `' F " Y ) )
1514eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( z  e.  { Y }  ->  ( ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( `' F " Y )  e.  (ordTop `  R )
) )
1612, 15syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( z  e.  { Y }  ->  ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) ) )
1716ralrimiv 2879 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  { Y }  ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) )
18 cnvimass 5363 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) 
C_  dom  F
19 f1odm 5826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  dom  F  =  X )
202, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  dom  F  =  X )
2120adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  dom  F  =  X )
2218, 21syl5sseq 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  C_  X
)
23 dfss1 3708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) 
C_  X  <->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )
252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
26 f1ofn 5823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  F  Fn  X )
28 elpreima 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ) )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
3130biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ) )
324adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  F : X --> Y )
3332ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  e.  Y )
34 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
y S x  <->  ( F `  z ) S x ) )
3534notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  ( -.  y S x  <->  -.  ( F `  z ) S x ) )
3635elrab3 3267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  e.  Y  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  -.  ( F `  z ) S x ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  -.  ( F `  z ) S x ) )
38 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )
39 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
40 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
412, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  `' F : Y --> X )
4241ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F `  x )  e.  X
)
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( `' F `  x )  e.  X )
44 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  /\  (
z  e.  X  /\  ( `' F `  x )  e.  X ) )  ->  ( z R ( `' F `  x )  <->  ( F `  z ) S ( F `  ( `' F `  x ) ) ) )
4538, 30, 43, 44syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z R ( `' F `  x )  <-> 
( F `  z
) S ( F `
 ( `' F `  x ) ) ) )
46 f1ocnvfv2 6182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
472, 46sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  x ) )  =  x )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  ( `' F `  x )
)  =  x )
4948breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 ( `' F `  x ) )  <->  ( F `  z ) S x ) )
5045, 49bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z R ( `' F `  x )  <-> 
( F `  z
) S x ) )
5150notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  z R ( `' F `  x )  <->  -.  ( F `  z
) S x ) )
5237, 51bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  <->  -.  z R ( `' F `  x ) ) )
5329, 31, 523bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  <->  -.  z R ( `' F `  x ) ) )
5453rabbi2dva 3711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )  =  { z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) } )
5524, 54eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  =  {
z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) } )
56 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  R  e.  V )
577ordtopn1 19563 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  ->  { z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) }  e.  (ordTop `  R ) )
5856, 42, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  { z  e.  X  |  -.  z R ( `' F `  x ) }  e.  (ordTop `  R ) )
5955, 58eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R ) )
6059ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) )
61 ordthmeo.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  dom  S
62 dmexg 6726 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  W  ->  dom  S  e.  _V )
6361, 62syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  W  ->  Y  e.  _V )
64633ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  Y  e.  _V )
65 rabexg 4603 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V )
6664, 65syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V )
6766ralrimivw 2882 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V )
68 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  =  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )
69 imaeq2 5339 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) )
7069eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  y S x }  ->  ( ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
7168, 70ralrnmpt 6041 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Y  {
y  e.  Y  |  -.  y S x }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
7267, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
7360, 72mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) )
74 cnvimass 5363 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) 
C_  dom  F
7574, 21syl5sseq 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  C_  X
)
76 dfss1 3708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) 
C_  X  <->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )
7775, 76sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )
78 elpreima 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )
7927, 78syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  <-> 
( z  e.  X  /\  ( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )
8030biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  ( z  e.  X  /\  ( F `  z )  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )
81 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  (
x S y  <->  x S
( F `  z
) ) )
8281notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  z )  ->  ( -.  x S y  <->  -.  x S ( F `  z ) ) )
8382elrab3 3267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  z )  e.  Y  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  -.  x S ( F `  z ) ) )
8433, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  -.  x S ( F `  z ) ) )
85 isorel 6221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  /\  (
( `' F `  x )  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( `' F `  x ) R z  <-> 
( F `  ( `' F `  x ) ) S ( F `
 z ) ) )
8638, 43, 30, 85syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' F `  x ) R z  <-> 
( F `  ( `' F `  x ) ) S ( F `
 z ) ) )
8748breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  ( `' F `  x ) ) S ( F `
 z )  <->  x S
( F `  z
) ) )
8886, 87bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( `' F `  x ) R z  <-> 
x S ( F `
 z ) ) )
8988notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  ( -.  ( `' F `  x ) R z  <->  -.  x S ( F `
 z ) ) )
9084, 89bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  e.  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  <->  -.  ( `' F `  x ) R z ) )
9179, 80, 903bitr2d 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  <->  -.  ( `' F `  x ) R z ) )
9291rabbi2dva 3711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  i^i  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )  =  { z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z } )
9377, 92eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  =  {
z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z } )
947ordtopn2 19564 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( `' F `  x )  e.  X )  ->  { z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z }  e.  (ordTop `  R ) )
9556, 42, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  { z  e.  X  |  -.  ( `' F `  x ) R z }  e.  (ordTop `  R ) )
9693, 95eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R ) )
9796ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) )
98 rabexg 4603 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  _V  ->  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V )
9964, 98syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V )
10099ralrimivw 2882 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. x  e.  Y  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V )
101 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  =  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )
102 imaeq2 5339 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) )
103102eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  Y  |  -.  x S y }  ->  ( ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
104101, 103ralrnmpt 6041 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Y  {
y  e.  Y  |  -.  x S y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
)  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
105100, 104syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  A. x  e.  Y  ( `' F " { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  e.  (ordTop `  R
) ) )
10697, 105mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) )
107 ralunb 3690 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
)  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) ) )
10873, 106, 107sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R ) )
109 ralunb 3690 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R )  <->  ( A. z  e.  { Y }  ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R )  /\  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) ) )
11017, 108, 109sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  A. z  e.  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ( `' F " z )  e.  (ordTop `  R
) )
111 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }
)  =  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x }
)
112 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )  =  ran  (
x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } )
11361, 111, 112ordtuni 19559 . . . . . 6  |-  ( S  e.  W  ->  Y  =  U. ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) )
114113, 63eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( S  e.  W  ->  U. ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
115 uniexb 6605 . . . . 5  |-  ( ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V  <->  U. ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
116114, 115sylibr 212 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
1171163ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) )  e.  _V )
11861, 111, 112ordtval 19558 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  (ordTop `  S )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ) ) )
1191183ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  (ordTop `  S
)  =  ( topGen `  ( fi `  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ) ) )
12061ordttopon 19562 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  (ordTop `  S )  e.  (TopOn `  Y ) )
1211203ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  (ordTop `  S
)  e.  (TopOn `  Y ) )
1229, 117, 119, 121subbascn 19623 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  ( F  e.  ( (ordTop `  R
)  Cn  (ordTop `  S ) )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  ( { Y }  u.  ( ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  y S x } )  u.  ran  ( x  e.  Y  |->  { y  e.  Y  |  -.  x S y } ) ) ) ( `' F "
z )  e.  (ordTop `  R ) ) ) )
1234, 110, 122mpbir2and 920 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6295   ficfi 7882   topGenctg 14710  ordTopcordt 14771  TopOnctopon 19264    Cn ccn 19593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-fin 7532  df-fi 7883  df-topgen 14716  df-ordt 14773  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cn 19596
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