Theorem ordthmeolem 20428

Description: Lemma for ordthmeo 20429. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordthmeo.1	|- X = dom R
ordthmeo.2	|- Y = dom S

Assertion

Ref	Expression
ordthmeolem	|- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F e. ( (ordTop ` R ) Cn (ordTop ` S ) ) )

Proof of Theorem ordthmeolem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 6222	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( X , Y ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
2	1	3ad2ant3 1019	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
3		f1of 5822	. . 3 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X --> Y )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F : X --> Y )
5		fimacnv 6020	. . . . . . 7 |- ( F : X --> Y -> ( `' F " Y ) = X )
6	4, 5	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( `' F " Y ) = X )
7		ordthmeo.1	. . . . . . . . 9 |- X = dom R
8	7	ordttopon 19821	. . . . . . . 8 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
9	8	3ad2ant1 1017	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
10		toponmax 19556	. . . . . . 7 |- ( (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) -> X e. (ordTop ` R ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> X e. (ordTop ` R ) )
12	6, 11	eqeltrd 2545	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( `' F " Y ) e. (ordTop ` R ) )
13		elsni 4057	. . . . . . 7 |- ( z e. { Y } -> z = Y )
14	13	imaeq2d 5347	. . . . . 6 |- ( z e. { Y } -> ( `' F " z ) = ( `' F " Y ) )
15	14	eleq1d 2526	. . . . 5 |- ( z e. { Y } -> ( ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( `' F " Y ) e. (ordTop ` R ) ) )
16	12, 15	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( z e. { Y } -> ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) )
17	16	ralrimiv 2869	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. { Y } ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
18		cnvimass 5367	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) C_ dom F
19		f1odm 5826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> dom F = X )
20	2, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> dom F = X )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> dom F = X )
22	18, 21	syl5sseq 3547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) C_ X )
23		dfss1 3699	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) C_ X <-> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) )
24	22, 23	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) )
25	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
26		f1ofn 5823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> F Fn X )
28		elpreima 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } ) ) )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } ) ) )
30		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> z e. X )
31	30	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } ) ) )
32	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> F : X --> Y )
33	32	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. Y )
34		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` z ) -> ( y S x <-> ( F ` z ) S x ) )
35	34	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` z ) -> ( -. y S x <-> -. ( F ` z ) S x ) )
36	35	elrab3 3258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. Y -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> -. ( F ` z ) S x ) )
37	33, 36	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> -. ( F ` z ) S x ) )
38		simpll3 1037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> F Isom R , S ( X , Y ) )
39		f1ocnv 5834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
40		f1of 5822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
41	2, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> `' F : Y --> X )
42	41	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F ` x ) e. X )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( `' F ` x ) e. X )
44		isorel 6223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Isom R , S ( X , Y ) /\ ( z e. X /\ ( `' F ` x ) e. X ) ) -> ( z R ( `' F ` x ) <-> ( F ` z ) S ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
45	38, 30, 43, 44	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z R ( `' F ` x ) <-> ( F ` z ) S ( F ` ( `' F ` x ) ) ) )
46		f1ocnvfv2 6184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
47	2, 46	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
49	48	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) S ( F ` ( `' F ` x ) ) <-> ( F ` z ) S x ) )
50	45, 49	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z R ( `' F ` x ) <-> ( F ` z ) S x ) )
51	50	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( -. z R ( `' F ` x ) <-> -. ( F ` z ) S x ) )
52	37, 51	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. y S x } <-> -. z R ( `' F ` x ) ) )
53	29, 31, 52	3bitr2d 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) <-> -. z R ( `' F ` x ) ) )
54	53	rabbi2dva 3702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) ) = { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } )
55	24, 54	eqtr3d 2500	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) = { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } )
56		simpl1 999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> R e. V )
57	7	ordtopn1 19822	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( `' F ` x ) e. X ) -> { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } e. (ordTop ` R ) )
58	56, 42, 57	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> { z e. X | -. z R ( `' F ` x ) } e. (ordTop ` R ) )
59	55, 58	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) )
60	59	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) )
61		ordthmeo.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = dom S
62		dmexg 6730	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. W -> dom S e. _V )
63	61, 62	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( S e. W -> Y e. _V )
64	63	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> Y e. _V )
65		rabexg 4606	. . . . . . . 8 |- ( Y e. _V -> { y e. Y | -. y S x } e. _V )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> { y e. Y | -. y S x } e. _V )
67	66	ralrimivw 2872	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y { y e. Y | -. y S x } e. _V )
68		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) = ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } )
69		imaeq2 5343	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. Y | -. y S x } -> ( `' F " z ) = ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) )
70	69	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. Y | -. y S x } -> ( ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) ) )
71	68, 70	ralrnmpt 6041	. . . . . 6 |- ( A. x e. Y { y e. Y | -. y S x } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) ) )
72	67, 71	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. y S x } ) e. (ordTop ` R ) ) )
73	60, 72	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
74		cnvimass 5367	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) C_ dom F
75	74, 21	syl5sseq 3547	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) C_ X )
76		dfss1 3699	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) C_ X <-> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) )
77	75, 76	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) ) = ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) )
78		elpreima 6008	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn X -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } ) ) )
79	27, 78	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } ) ) )
80	30	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> ( z e. X /\ ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } ) ) )
81		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( F ` z ) -> ( x S y <-> x S ( F ` z ) ) )
82	81	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` z ) -> ( -. x S y <-> -. x S ( F ` z ) ) )
83	82	elrab3 3258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. Y -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> -. x S ( F ` z ) ) )
84	33, 83	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> -. x S ( F ` z ) ) )
85		isorel 6223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Isom R , S ( X , Y ) /\ ( ( `' F ` x ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( `' F ` x ) R z <-> ( F ` ( `' F ` x ) ) S ( F ` z ) ) )
86	38, 43, 30, 85	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( `' F ` x ) R z <-> ( F ` ( `' F ` x ) ) S ( F ` z ) ) )
87	48	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) S ( F ` z ) <-> x S ( F ` z ) ) )
88	86, 87	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( `' F ` x ) R z <-> x S ( F ` z ) ) )
89	88	notbid 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( -. ( `' F ` x ) R z <-> -. x S ( F ` z ) ) )
90	84, 89	bitr4d 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( ( F ` z ) e. { y e. Y | -. x S y } <-> -. ( `' F ` x ) R z ) )
91	79, 80, 90	3bitr2d 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) /\ z e. X ) -> ( z e. ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) <-> -. ( `' F ` x ) R z ) )
92	91	rabbi2dva 3702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X i^i ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) ) = { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } )
93	77, 92	eqtr3d 2500	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) = { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } )
94	7	ordtopn2 19823	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ ( `' F ` x ) e. X ) -> { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } e. (ordTop ` R ) )
95	56, 42, 94	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> { z e. X | -. ( `' F ` x ) R z } e. (ordTop ` R ) )
96	93, 95	eqeltrd 2545	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) )
97	96	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) )
98		rabexg 4606	. . . . . . . 8 |- ( Y e. _V -> { y e. Y | -. x S y } e. _V )
99	64, 98	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> { y e. Y | -. x S y } e. _V )
100	99	ralrimivw 2872	. . . . . 6 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. x e. Y { y e. Y | -. x S y } e. _V )
101		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) = ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } )
102		imaeq2 5343	. . . . . . . 8 |- ( z = { y e. Y | -. x S y } -> ( `' F " z ) = ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) )
103	102	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( z = { y e. Y | -. x S y } -> ( ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) ) )
104	101, 103	ralrnmpt 6041	. . . . . 6 |- ( A. x e. Y { y e. Y | -. x S y } e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) ) )
105	100, 104	syl 16	. . . . 5 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> A. x e. Y ( `' F " { y e. Y | -. x S y } ) e. (ordTop ` R ) ) )
106	97, 105	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
107		ralunb 3681	. . . 4 |- ( A. z e. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) /\ A. z e. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) )
108	73, 106, 107	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
109		ralunb 3681	. . 3 |- ( A. z e. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) <-> ( A. z e. { Y } ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) /\ A. z e. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) )
110	17, 108, 109	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> A. z e. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) )
111		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) = ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } )
112		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) = ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } )
113	61, 111, 112	ordtuni 19818	. . . . . 6 |- ( S e. W -> Y = U. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) )
114	113, 63	eqeltrrd 2546	. . . . 5 |- ( S e. W -> U. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
115		uniexb 6609	. . . . 5 |- ( ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V <-> U. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
116	114, 115	sylibr 212	. . . 4 |- ( S e. W -> ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
117	116	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) e. _V )
118	61, 111, 112	ordtval 19817	. . . 4 |- ( S e. W -> (ordTop ` S ) = ( topGen ` ( fi ` ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ) ) )
119	118	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> (ordTop ` S ) = ( topGen ` ( fi ` ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ) ) )
120	61	ordttopon 19821	. . . 4 |- ( S e. W -> (ordTop ` S ) e. (TopOn ` Y ) )
121	120	3ad2ant2 1018	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> (ordTop ` S ) e. (TopOn ` Y ) )
122	9, 117, 119, 121	subbascn 19882	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> ( F e. ( (ordTop ` R ) Cn (ordTop ` S ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. z e. ( { Y } u. ( ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. y S x } ) u. ran ( x e. Y |-> { y e. Y | -. x S y } ) ) ) ( `' F " z ) e. (ordTop ` R ) ) ) )
123	4, 110, 122	mpbir2and 922	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W /\ F Isom R , S ( X , Y ) ) -> F e. ( (ordTop ` R ) Cn (ordTop ` S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   ficfi 7888   topGenctg 14855  ordTopcordt 14916  TopOnctopon 19522   Cn ccn 19852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-topgen 14861  df-ordt 14918  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855

This theorem is referenced by:  ordthmeo  20429  xrmulc1cn  28073