MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Unicode version

Theorem ordthmeo 20130
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1  |-  X  =  dom  R
ordthmeo.2  |-  Y  =  dom  S
Assertion
Ref Expression
ordthmeo  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R ) Homeo (ordTop `  S )
) )

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3  |-  X  =  dom  R
2 ordthmeo.2 . . 3  |-  Y  =  dom  S
31, 2ordthmeolem 20129 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )
4 isocnv 6215 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )
52, 1ordthmeolem 20129 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  R  e.  V  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
653com12 1200 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
74, 6syl3an3 1263 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  `' F  e.  ( (ordTop `  S
)  Cn  (ordTop `  R ) ) )
8 ishmeo 20087 . 2  |-  ( F  e.  ( (ordTop `  R ) Homeo (ordTop `  S ) )  <->  ( F  e.  ( (ordTop `  R
)  Cn  (ordTop `  S ) )  /\  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) ) )
93, 7, 8sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R ) Homeo (ordTop `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ` cfv 5588    Isom wiso 5589  (class class class)co 6285  ordTopcordt 14757    Cn ccn 19531   Homeochmeo 20081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-fin 7521  df-fi 7872  df-topgen 14702  df-ordt 14759  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cn 19534  df-hmeo 20083
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21270  iccpnfhmeo  21272  xrhmeo  21273  xrge0iifhmeo  27669
  Copyright terms: Public domain W3C validator