MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthmeo Structured version   Unicode version

Theorem ordthmeo 20741
Description: An order isomorphism is a homeomorphism on the respective order topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordthmeo.1  |-  X  =  dom  R
ordthmeo.2  |-  Y  =  dom  S
Assertion
Ref Expression
ordthmeo  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R ) Homeo (ordTop `  S )
) )

Proof of Theorem ordthmeo
StepHypRef Expression
1 ordthmeo.1 . . 3  |-  X  =  dom  R
2 ordthmeo.2 . . 3  |-  Y  =  dom  S
31, 2ordthmeolem 20740 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R )  Cn  (ordTop `  S )
) )
4 isocnv 6227 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( X ,  Y )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )
52, 1ordthmeolem 20740 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  R  e.  V  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
653com12 1209 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  `' F  Isom  S ,  R  ( Y ,  X ) )  ->  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) )
74, 6syl3an3 1299 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  `' F  e.  ( (ordTop `  S
)  Cn  (ordTop `  R ) ) )
8 ishmeo 20698 . 2  |-  ( F  e.  ( (ordTop `  R ) Homeo (ordTop `  S ) )  <->  ( F  e.  ( (ordTop `  R
)  Cn  (ordTop `  S ) )  /\  `' F  e.  (
(ordTop `  S )  Cn  (ordTop `  R )
) ) )
93, 7, 8sylanbrc 668 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W  /\  F  Isom  R ,  S  ( X ,  Y ) )  ->  F  e.  ( (ordTop `  R ) Homeo (ordTop `  S )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ` cfv 5592    Isom wiso 5593  (class class class)co 6296  ordTopcordt 15349    Cn ccn 20164   Homeochmeo 20692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-fin 7572  df-fi 7922  df-topgen 15294  df-ordt 15351  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cn 20167  df-hmeo 20694
This theorem is referenced by:  icopnfhmeo  21880  iccpnfhmeo  21882  xrhmeo  21883  xrge0iifhmeo  28607
  Copyright terms: Public domain W3C validator