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Theorem ordthauslem 19122
Description: Lemma for ordthaus 19123. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordthauslem.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordthauslem  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    B, m, n    R, m, n    m, X, n

Proof of Theorem ordthauslem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1027 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  R  e.  TosetRel  )
2 simpll3 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  X )
3 ordthauslem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
43ordtopn2 18934 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
51, 2, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
6 simpll2 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  X )
73ordtopn1 18933 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
81, 6, 7syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
9 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A  =/=  B )
10 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
TosetRel  )
11 tsrps 15513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
PosetRel )
13 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A R B )
14 psasym 15502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B )
15143expia 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1612, 13, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1716necon3ad 2662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  B R A ) )
189, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  -.  B R A )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  -.  B R A )
20 breq2 4407 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( B R x  <->  B R A ) )
2120notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  B R x  <->  -.  B R A ) )
2221elrab 3224 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  B R A ) )
236, 19, 22sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
)
24 breq1 4406 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x R A  <->  B R A ) )
2524notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( -.  x R A  <->  -.  B R A ) )
2625elrab 3224 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R A ) )
272, 19, 26sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
)
28 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )
29 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
) )
30 ineq1 3656 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n ) )
3130eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) )
3229, 313anbi13d 1292 . . . . . 6  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
33 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
34 ineq2 3657 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
35 inrab 3733 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A } )  =  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }
3634, 35syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) } )
3736eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )
3833, 373anbi23d 1293 . . . . . 6  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) ) )
3932, 38rspc2ev 3188 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
405, 8, 23, 27, 28, 39syl113anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4140ex 434 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
42 rabn0 3768 . . . 4  |-  ( { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) )
43 simpll1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  R  e.  TosetRel  )
44 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  x  e.  X
)
453ordtopn2 18934 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
4643, 44, 45syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
473ordtopn1 18933 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
4843, 44, 47syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
49 simpll2 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  X
)
50 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  x R A )
51 breq2 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
5251notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R A ) )
5352elrab 3224 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  x R A ) )
5449, 50, 53sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y } )
55 simpll3 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  X
)
56 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  B R x )
57 breq1 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
5857notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  y R x  <->  -.  B R x ) )
5958elrab 3224 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R x ) )
6055, 56, 59sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }
)
6143, 44jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  ( R  e.  TosetRel 
/\  x  e.  X
) )
623tsrlin 15511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x R y  \/  y R x ) )
63623expa 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
6461, 63sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
65 oran 496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6664, 65sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6766ralrimiva 2830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
68 rabeq0 3770 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/)  <->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6967, 68sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) )
70 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
71 ineq1 3656 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n ) )
7271eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) )
7370, 723anbi13d 1292 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
74 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
75 ineq2 3657 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
76 inrab 3733 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }
7775, 76syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) } )
7877eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )
7974, 783anbi23d 1293 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) ) )
8073, 79rspc2ev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8146, 48, 54, 60, 69, 80syl113anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8281rexlimdvaa 2948 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
8342, 82syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
8441, 83pm2.61dne 2769 . 2  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
8584exp32 605 1  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    i^i cin 3438   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   ` cfv 5529  ordTopcordt 14559   PosetRelcps 15490    TosetRel ctsr 15491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427  df-fi 7775  df-topgen 14504  df-ordt 14561  df-ps 15492  df-tsr 15493  df-bases 18640
This theorem is referenced by:  ordthaus  19123
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