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Theorem ordthauslem 20341
Description: Lemma for ordthaus 20342. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordthauslem.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordthauslem  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, A    B, m, n    R, m, n    m, X, n

Proof of Theorem ordthauslem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  R  e.  TosetRel  )
2 simpll3 1046 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  X )
3 ordthauslem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  dom  R
43ordtopn2 20153 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
51, 2, 4syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R ) )
6 simpll2 1045 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  X )
73ordtopn1 20152 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
81, 6, 7syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R ) )
9 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A  =/=  B )
10 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
TosetRel  )
11 tsrps 16410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  R  e. 
PosetRel )
13 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  A R B )
14 psasym 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B  /\  B R A )  ->  A  =  B )
15143expia 1207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R B )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1612, 13, 15syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( B R A  ->  A  =  B ) )
1716necon3ad 2614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  B R A ) )
189, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  -.  B R A )
1918adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  -.  B R A )
20 breq2 4370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( B R x  <->  B R A ) )
2120notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  B R x  <->  -.  B R A ) )
2221elrab 3171 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  B R A ) )
236, 19, 22sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
)
24 breq1 4369 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
x R A  <->  B R A ) )
2524notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( -.  x R A  <->  -.  B R A ) )
2625elrab 3171 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R A ) )
272, 19, 26sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
)
28 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )
29 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }
) )
30 ineq1 3600 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n ) )
3130eqeq1d 2430 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) )
3229, 313anbi13d 1337 . . . . . 6  |-  ( m  =  { x  e.  X  |  -.  B R x }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
33 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
34 ineq2 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A }
) )
35 inrab 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  { x  e.  X  |  -.  x R A } )  =  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }
3634, 35syl6eq 2478 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) } )
3736eqeq1d 2430 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )
3833, 373anbi23d 1338 . . . . . 6  |-  ( n  =  { x  e.  X  |  -.  x R A }  ->  (
( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  n  /\  ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) ) )
3932, 38rspc2ev 3136 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  X  |  -.  B R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
x  e.  X  |  -.  x R A }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
x  e.  X  |  -.  B R x }  /\  B  e.  { x  e.  X  |  -.  x R A }  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
405, 8, 23, 27, 28, 39syl113anc 1276 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4140ex 435 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
42 rabn0 3725 . . . 4  |-  ( { x  e.  X  | 
( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) )
43 simpll1 1044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  R  e.  TosetRel  )
44 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  x  e.  X
)
453ordtopn2 20153 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
4643, 44, 45syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R ) )
473ordtopn1 20152 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
4843, 44, 47syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R ) )
49 simpll2 1045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  X
)
50 simprrr 773 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  x R A )
51 breq2 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
5251notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R A ) )
5352elrab 3171 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  <->  ( A  e.  X  /\  -.  x R A ) )
5449, 50, 53sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y } )
55 simpll3 1046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  X
)
56 simprrl 772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  -.  B R x )
57 breq1 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y R x  <->  B R x ) )
5857notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( -.  y R x  <->  -.  B R x ) )
5958elrab 3171 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }  <->  ( B  e.  X  /\  -.  B R x ) )
6055, 56, 59sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }
)
6143, 44jca 534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  ( R  e.  TosetRel 
/\  x  e.  X
) )
623tsrlin 16408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x R y  \/  y R x ) )
63623expa 1205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
6461, 63sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x R y  \/  y R x ) )
65 oran 498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R y  \/  y R x )  <->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6664, 65sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  /\  y  e.  X
)  ->  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6766ralrimiva 2779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
68 rabeq0 3727 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/)  <->  A. y  e.  X  -.  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) )
6967, 68sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) )
70 eleq2 2495 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( A  e.  m  <->  A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
71 ineq1 3600 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n ) )
7271eqeq1d 2430 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( {
y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) )
7370, 723anbi13d 1337 . . . . . . 7  |-  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  ->  ( ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( A  e.  { y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) ) )
74 eleq2 2495 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( B  e.  n  <->  B  e.  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
75 ineq2 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) )
76 inrab 3688 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }
7775, 76syl6eq 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) } )
7877eqeq1d 2430 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/)  <->  {
y  e.  X  | 
( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )
7974, 783anbi23d 1338 . . . . . . 7  |-  ( n  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  ->  ( ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  n  /\  ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  i^i  n )  =  (/) ) 
<->  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) ) )
8073, 79rspc2ev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( { y  e.  X  |  -.  x R y }  e.  (ordTop `  R )  /\  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  (ordTop `  R )  /\  ( A  e.  {
y  e.  X  |  -.  x R y }  /\  B  e.  {
y  e.  X  |  -.  y R x }  /\  { y  e.  X  |  ( -.  x R y  /\  -.  y R x ) }  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8146, 48, 54, 60, 69, 80syl113anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  e.  TosetRel 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  ( A R B  /\  A  =/= 
B ) )  /\  ( x  e.  X  /\  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) ) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
8281rexlimdvaa 2857 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( E. x  e.  X  ( -.  B R x  /\  -.  x R A )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
8342, 82syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  ( { x  e.  X  |  ( -.  B R x  /\  -.  x R A ) }  =/=  (/) 
->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R )
( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
8441, 83pm2.61dne 2687 . 2  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A R B  /\  A  =/=  B
) )  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
8584exp32 608 1  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A R B  ->  ( A  =/=  B  ->  E. m  e.  (ordTop `  R ) E. n  e.  (ordTop `  R ) ( A  e.  m  /\  B  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    i^i cin 3378   (/)c0 3704   class class class wbr 4366   dom cdm 4796   ` cfv 5544  ordTopcordt 15340   PosetRelcps 16387    TosetRel ctsr 16388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fi 7878  df-topgen 15285  df-ordt 15342  df-ps 16389  df-tsr 16390  df-bases 19864
This theorem is referenced by:  ordthaus  20342
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