Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Unicode version

Theorem ordthaus 20331
 Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus ordTop

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . . 6
21ordthauslem 20330 . . . . 5 ordTop ordTop
31ordthauslem 20330 . . . . . . 7 ordTop ordTop
4 necom 2700 . . . . . . . 8
5 3ancoma 989 . . . . . . . . . . 11
6 incom 3661 . . . . . . . . . . . . 13
76eqeq1i 2436 . . . . . . . . . . . 12
873anbi3i 1198 . . . . . . . . . . 11
95, 8bitri 252 . . . . . . . . . 10
1092rexbii 2935 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop ordTop
11 rexcom 2997 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop ordTop
1210, 11bitri 252 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop ordTop
134, 12imbi12i 327 . . . . . . 7 ordTop ordTop ordTop ordTop
143, 13syl6ib 229 . . . . . 6 ordTop ordTop
15143com23 1211 . . . . 5 ordTop ordTop
161tsrlin 16416 . . . . 5
172, 15, 16mpjaod 382 . . . 4 ordTop ordTop
18173expb 1206 . . 3 ordTop ordTop
1918ralrimivva 2853 . 2 ordTop ordTop
201ordttopon 20140 . . 3 ordTop TopOn
21 ishaus2 20298 . . 3 ordTop TopOn ordTop ordTop ordTop
2220, 21syl 17 . 2 ordTop ordTop ordTop
2319, 22mpbird 235 1 ordTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783   cin 3441  c0 3767   class class class wbr 4426   cdm 4854  cfv 5601  ordTopcordt 15356   ctsr 16396  TopOnctopon 19849  cha 20255 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-fi 7931  df-topgen 15301  df-ordt 15358  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-haus 20262 This theorem is referenced by:  xrge0tsms  21763  xrhaus  28191  xrge0tsmsd  28387
 Copyright terms: Public domain W3C validator