Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordthaus Structured version   Unicode version

Theorem ordthaus 19679
 Description: The order topology of a total order is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordthaus ordTop

Proof of Theorem ordthaus
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6
21ordthauslem 19678 . . . . 5 ordTop ordTop
31ordthauslem 19678 . . . . . . 7 ordTop ordTop
4 necom 2736 . . . . . . . 8
5 3ancoma 980 . . . . . . . . . . 11
6 incom 3691 . . . . . . . . . . . . 13
76eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . 12
873anbi3i 1189 . . . . . . . . . . 11
95, 8bitri 249 . . . . . . . . . 10
1092rexbii 2966 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop ordTop
11 rexcom 3023 . . . . . . . . 9 ordTop ordTop ordTop ordTop
1210, 11bitri 249 . . . . . . . 8 ordTop ordTop ordTop ordTop
134, 12imbi12i 326 . . . . . . 7 ordTop ordTop ordTop ordTop
143, 13syl6ib 226 . . . . . 6 ordTop ordTop
15143com23 1202 . . . . 5 ordTop ordTop
161tsrlin 15706 . . . . 5
172, 15, 16mpjaod 381 . . . 4 ordTop ordTop
18173expb 1197 . . 3 ordTop ordTop
1918ralrimivva 2885 . 2 ordTop ordTop
201ordttopon 19488 . . 3 ordTop TopOn
21 ishaus2 19646 . . 3 ordTop TopOn ordTop ordTop ordTop
2220, 21syl 16 . 2 ordTop ordTop ordTop
2319, 22mpbird 232 1 ordTop
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815   cin 3475  c0 3785   class class class wbr 4447   cdm 4999  cfv 5588  ordTopcordt 14754   ctsr 15686  TopOnctopon 19190  cha 19603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-topgen 14699  df-ordt 14756  df-ps 15687  df-tsr 15688  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-haus 19610 This theorem is referenced by:  xrge0tsms  21102  xrhaus  27280  xrge0tsmsd  27466
 Copyright terms: Public domain W3C validator