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Theorem ordtcnvNEW 28055
Description: The order dual generates the same topology as the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ordtcnvNEW  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  `'  .<_  )  =  (ordTop `  .<_  ) )

Proof of Theorem ordtcnvNEW
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
2 vex 3112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
31, 2brcnv 5195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  .<_  x  <->  x  .<_  y )
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( y `' 
.<_  x  <->  x  .<_  y ) )
54notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  y `'  .<_  x  <->  -.  x  .<_  y ) )
65rabbidv 3101 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }  =  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
76mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
87rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
92, 1brcnv 5195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x `' 
.<_  y  <->  y  .<_  x ) )
1110notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  x `'  .<_  y  <->  -.  y  .<_  x ) )
1211rabbidv 3101 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y }  =  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
1312mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
1413rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
158, 14uneq12d 3655 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) ) )
16 uncom 3644 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
1715, 16syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
1817uneq2d 3654 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
1918fveq2d 5876 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )
2019fveq2d 5876 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
21 eqid 2457 . . . 4  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2221oduprs 27796 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ODual `  K
)  e.  Preset  )
23 ordtNEW.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2421, 23odubas 15889 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
25 ordtNEW.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2625cnveqi 5187 . . . . 5  |-  `'  .<_  =  `' ( ( le
`  K )  i^i  ( B  X.  B
) )
27 cnvin 5420 . . . . 5  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le
`  K )  i^i  `' ( B  X.  B ) )
28 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2921, 28oduleval 15887 . . . . . 6  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  (ODual `  K ) )
30 cnvxp 5431 . . . . . 6  |-  `' ( B  X.  B )  =  ( B  X.  B )
3129, 30ineq12i 3694 . . . . 5  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  `' ( B  X.  B ) )  =  ( ( le
`  (ODual `  K
) )  i^i  ( B  X.  B ) )
3226, 27, 313eqtri 2490 . . . 4  |-  `'  .<_  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
33 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)
34 eqid 2457 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )
3524, 32, 33, 34ordtprsval 28053 . . 3  |-  ( (ODual `  K )  e.  Preset  -> 
(ordTop `  `'  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) ) ) )
3622, 35syl 16 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  `'  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) ) ) )
37 eqid 2457 . . 3  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
38 eqid 2457 . . 3  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
3923, 25, 37, 38ordtprsval 28053 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
4020, 36, 393eqtr4d 2508 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  `'  .<_  )  =  (ordTop `  .<_  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811    u. cun 3469    i^i cin 3470   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   ` cfv 5594   ficfi 7888   Basecbs 14643   lecple 14718   topGenctg 14854  ordTopcordt 14915    Preset cpreset 15681  ODualcodu 15884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ple 14731  df-ordt 14917  df-preset 15683  df-odu 15885
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  28058
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