Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtcnvNEW Structured version   Unicode version

Theorem ordtcnvNEW 26350
Description: The order dual generates the same topology as the original order. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ordtNEW.l  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
Assertion
Ref Expression
ordtcnvNEW  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  `'  .<_  )  =  (ordTop `  .<_  ) )

Proof of Theorem ordtcnvNEW
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  B  =  B )
21sneqd 3889 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  { B }  =  { B } )
3 vex 2975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  y  e. 
_V
4 vex 2975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
53, 4brcnv 5022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y `'  .<_  x  <->  x  .<_  y )
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( y `' 
.<_  x  <->  x  .<_  y ) )
76notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  y `'  .<_  x  <->  -.  x  .<_  y ) )
81, 7rabeqbidv 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }  =  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
91, 8mpteq12dv 4370 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
109rneqd 5067 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
114, 3brcnv 5022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x `' 
.<_  y  <->  y  .<_  x ) )
1312notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( -.  x `'  .<_  y  <->  -.  y  .<_  x ) )
141, 13rabeqbidv 2967 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Preset  ->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y }  =  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
151, 14mpteq12dv 4370 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )  =  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) )
1615rneqd 5067 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Preset  ->  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )
1710, 16uneq12d 3511 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } ) ) )
18 uncom 3500 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) )
1917, 18syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) )  =  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) )
202, 19uneq12d 3511 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) )  =  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) )
2120fveq2d 5695 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) )  =  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) )
2221fveq2d 5695 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) ) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u. 
ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2423oduprs 26117 . . 3  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ODual `  K
)  e.  Preset  )
25 ordtNEW.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2623, 25odubas 15303 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
27 ordtNEW.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )
2827cnveqi 5014 . . . . 5  |-  `'  .<_  =  `' ( ( le
`  K )  i^i  ( B  X.  B
) )
29 cnvin 5244 . . . . 5  |-  `' ( ( le `  K
)  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( `' ( le
`  K )  i^i  `' ( B  X.  B ) )
30 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3123, 30oduleval 15301 . . . . . 6  |-  `' ( le `  K )  =  ( le `  (ODual `  K ) )
32 cnvxp 5255 . . . . . 6  |-  `' ( B  X.  B )  =  ( B  X.  B )
3331, 32ineq12i 3550 . . . . 5  |-  ( `' ( le `  K
)  i^i  `' ( B  X.  B ) )  =  ( ( le
`  (ODual `  K
) )  i^i  ( B  X.  B ) )
3428, 29, 333eqtri 2467 . . . 4  |-  `'  .<_  =  ( ( le `  (ODual `  K ) )  i^i  ( B  X.  B ) )
35 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)
36 eqid 2443 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } )
3726, 34, 35, 36ordtprsval 26348 . . 3  |-  ( (ODual `  K )  e.  Preset  -> 
(ordTop `  `'  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) ) ) )
3824, 37syl 16 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  `'  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y `'  .<_  x }
)  u.  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x `'  .<_  y } ) ) ) ) ) )
39 eqid 2443 . . 3  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x }
)
40 eqid 2443 . . 3  |-  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )  =  ran  (
x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } )
4125, 27, 39, 40ordtprsval 26348 . 2  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  .<_  )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { B }  u.  ( ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  y  .<_  x } )  u.  ran  ( x  e.  B  |->  { y  e.  B  |  -.  x  .<_  y } ) ) ) ) ) )
4222, 38, 413eqtr4d 2485 1  |-  ( K  e.  Preset  ->  (ordTop `  `'  .<_  )  =  (ordTop `  .<_  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719    u. cun 3326    i^i cin 3327   {csn 3877   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   ran crn 4841   ` cfv 5418   ficfi 7660   Basecbs 14174   lecple 14245   topGenctg 14376  ordTopcordt 14437    Preset cpreset 15096  ODualcodu 15298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ple 14258  df-ordt 14439  df-preset 15098  df-odu 15299
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  26353
  Copyright terms: Public domain W3C validator