MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Unicode version

Theorem ordtcld3 19506
Description: A closed interval  [ A ,  B ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 3770 . 2  |-  ( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  { x  e.  X  |  x R B } )  =  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }
2 ordttopon.3 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
32ordtcld2 19505 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
433adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
52ordtcld1 19504 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
653adant2 1015 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
7 incld 19350 . . 3  |-  ( ( { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) )  /\  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )  -> 
( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  {
x  e.  X  |  x R B } )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  {
x  e.  X  |  x R B } )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
91, 8syl5eqelr 2560 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818    i^i cin 3475   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588  ordTopcordt 14757   Clsdccld 19323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fi 7872  df-topgen 14702  df-ordt 14759  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cld 19326
This theorem is referenced by:  iccordt  19521  ordtt1  19686
  Copyright terms: Public domain W3C validator