MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Unicode version

Theorem ordtcld3 20152
Description: A closed interval  [ A ,  B ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 3742 . 2  |-  ( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  { x  e.  X  |  x R B } )  =  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }
2 ordttopon.3 . . . . 5  |-  X  =  dom  R
32ordtcld2 20151 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
433adant3 1025 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
52ordtcld1 20150 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
653adant2 1024 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
7 incld 19995 . . 3  |-  ( ( { x  e.  X  |  A R x }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) )  /\  { x  e.  X  |  x R B }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )  -> 
( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  {
x  e.  X  |  x R B } )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
84, 6, 7syl2anc 665 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  A R x }  i^i  {
x  e.  X  |  x R B } )  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
91, 8syl5eqelr 2513 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  ( A R x  /\  x R B ) }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   {crab 2777    i^i cin 3432   class class class wbr 4417   dom cdm 4845   ` cfv 5592  ordTopcordt 15357   Clsdccld 19968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-fin 7572  df-fi 7922  df-topgen 15302  df-ordt 15359  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-cld 19971
This theorem is referenced by:  iccordt  20167  ordtt1  20332
  Copyright terms: Public domain W3C validator