MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld1 Structured version   Unicode version

Theorem ordtcld1 19675
Description: A downward ray  ( -oo ,  P ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
ordtcld1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, P    x, R    x, V    x, X

Proof of Theorem ordtcld1
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3570 . . 3  |-  { x  e.  X  |  x R P }  C_  X
2 ordttopon.3 . . . . . 6  |-  X  =  dom  R
32ordttopon 19671 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X ) )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )
)
5 toponuni 19405 . . . 4  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R
) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  X  =  U. (ordTop `  R ) )
71, 6syl5sseq 3537 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  C_ 
U. (ordTop `  R )
)
8 notrab 3760 . . . 4  |-  ( X 
\  { x  e.  X  |  x R P } )  =  { x  e.  X  |  -.  x R P }
96difeq1d 3606 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( X  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  =  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } ) )
108, 9syl5eqr 2498 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  =  ( U. (ordTop `  R )  \  { x  e.  X  |  x R P }
) )
112ordtopn1 19672 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  -.  x R P }  e.  (ordTop `  R ) )
1210, 11eqeltrrd 2532 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) )
13 topontop 19404 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  (TopOn `  X )  ->  (ordTop `  R )  e.  Top )
14 eqid 2443 . . . 4  |-  U. (ordTop `  R )  =  U. (ordTop `  R )
1514iscld 19505 . . 3  |-  ( (ordTop `  R )  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
164, 13, 153syl 20 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  ( { x  e.  X  |  x R P }  e.  (
Clsd `  (ordTop `  R
) )  <->  ( {
x  e.  X  |  x R P }  C_  U. (ordTop `  R )  /\  ( U. (ordTop `  R )  \  {
x  e.  X  |  x R P } )  e.  (ordTop `  R
) ) ) )
177, 12, 16mpbir2and 922 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  P  e.  X )  ->  { x  e.  X  |  x R P }  e.  ( Clsd `  (ordTop `  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797    \ cdif 3458    C_ wss 3461   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ` cfv 5578  ordTopcordt 14877   Topctop 19371  TopOnctopon 19372   Clsdccld 19494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-topgen 14822  df-ordt 14879  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cld 19497
This theorem is referenced by:  ordtcld3  19677
  Copyright terms: Public domain W3C validator