MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtbaslem Unicode version

Theorem ordtbaslem 17206
Description: Lemma for ordtbas 17210. In a total order, unbounded-above intervals are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
Assertion
Ref Expression
ordtbaslem  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ordtbaslem
Dummy variables  a 
b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anrot 941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)
2 ordtval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  dom  R
32tsrlemax 14607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
41, 3sylan2br 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
543exp2 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( a  e.  X  ->  ( b  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) ) ) ) )
65imp42 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) )
76notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  -.  ( y R a  \/  y R b ) ) )
8 ioran 477 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( y R a  \/  y R b )  <->  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) )
97, 8syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) ) )
109rabbidva 2907 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
11 ifcl 3735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1211ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1312adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  if (
a R b ,  b ,  a )  e.  X )
14 dmexg 5089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
152, 14syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
1615adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  X  e.  _V )
17 rabexg 4313 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1910, 18eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
21 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( y R x  <-> 
y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2221notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( -.  y R x  <->  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2322rabbidv 2908 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) } )
2420, 23elrnmpt1s 5077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
25 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
2624, 25syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2713, 19, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2810, 27eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
2928ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
30 rabexg 4313 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3115, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3231ralrimivw 2750 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
33 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
y R x  <->  y R
a ) )
3433notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R a ) )
3534rabbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
3635cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( a  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
37 ineq1 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
38 inrab 3573 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }
3937, 38syl6eq 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
4039eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4140ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4236, 41ralrnmpt 5837 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4332, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4429, 43mpbird 224 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
)
45 rabexg 4313 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4615, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4746ralrimivw 2750 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
48 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
y R x  <->  y R
b ) )
4948notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R b ) )
5049rabbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
5150cbvmptv 4260 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
52 ineq2 3496 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( z  i^i  w )  =  ( z  i^i 
{ y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
5352eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5451, 53ralrnmpt 5837 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A ) )
5547, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5655ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5744, 56mpbird 224 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
5825raleqi 2868 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A )
5925, 58raleqbii 2696 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
6057, 59sylibr 204 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A )
61 pwexg 4343 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P X  e.  _V )
6215, 61syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ~P X  e. 
_V )
63 ssrab2 3388 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
6415adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
65 elpw2g 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6763, 66mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X )
6867, 20fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) : X --> ~P X
)
69 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7068, 69syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7125, 70syl5eqss 3352 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  C_  ~P X )
7262, 71ssexd 4310 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  e.  _V )
73 inficl 7388 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7560, 74mpbid 202 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413   ficfi 7373    TosetRel ctsr 14580
This theorem is referenced by:  ordtbas2  17209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-ps 14584  df-tsr 14585
  Copyright terms: Public domain W3C validator