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Theorem ordtbaslem 19984
Description: Lemma for ordtbas 19988. In a total order, unbounded-above intervals are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
Assertion
Ref Expression
ordtbaslem  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ordtbaslem
Dummy variables  a 
b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anrot 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)
2 ordtval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  dom  R
32tsrlemax 16176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
41, 3sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
543exp2 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( a  e.  X  ->  ( b  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) ) ) ) )
65imp42 594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) )
76notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  -.  ( y R a  \/  y R b ) ) )
8 ioran 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( y R a  \/  y R b )  <->  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) )
97, 8syl6bb 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) ) )
109rabbidva 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
11 ifcl 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1211ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  if (
a R b ,  b ,  a )  e.  X )
14 dmexg 6717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
152, 14syl5eqel 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  X  e.  _V )
17 rabexg 4546 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1910, 18eqeltrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
21 breq2 4401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( y R x  <-> 
y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2221notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( -.  y R x  <->  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2322rabbidv 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) } )
2420, 23elrnmpt1s 5073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
25 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
2624, 25syl6eleqr 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2713, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2810, 27eqeltrrd 2493 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
2928ralrimivva 2827 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
30 rabexg 4546 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3115, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3231ralrimivw 2821 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
33 breq2 4401 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
y R x  <->  y R
a ) )
3433notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R a ) )
3534rabbidv 3053 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
3635cbvmptv 4489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( a  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
37 ineq1 3636 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
38 inrab 3724 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }
3937, 38syl6eq 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
4039eleq1d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4140ralbidv 2845 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4236, 41ralrnmpt 6020 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4332, 42syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4429, 43mpbird 234 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
)
45 rabexg 4546 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4615, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4746ralrimivw 2821 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
48 breq2 4401 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
y R x  <->  y R
b ) )
4948notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R b ) )
5049rabbidv 3053 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
5150cbvmptv 4489 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
52 ineq2 3637 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( z  i^i  w )  =  ( z  i^i 
{ y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
5352eleq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5451, 53ralrnmpt 6020 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A ) )
5547, 54syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5655ralbidv 2845 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5744, 56mpbird 234 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
5825raleqi 3010 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A )
5925, 58raleqbii 2851 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
6057, 59sylibr 214 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A )
61 pwexg 4580 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P X  e.  _V )
6215, 61syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ~P X  e. 
_V )
63 ssrab2 3526 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
6415adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
65 elpw2g 4559 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6763, 66mpbiri 235 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X )
6867, 20fmptd 6035 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) : X --> ~P X
)
69 frn 5722 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7068, 69syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7125, 70syl5eqss 3488 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  C_  ~P X )
7262, 71ssexd 4543 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  e.  _V )
73 inficl 7921 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7472, 73syl 17 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7560, 74mpbid 212 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ifcif 3887   ~Pcpw 3957   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   ran crn 4826   -->wf 5567   ` cfv 5571   ficfi 7906    TosetRel ctsr 16155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907  df-ps 16156  df-tsr 16157
This theorem is referenced by:  ordtbas2  19987
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