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Theorem ordtbaslem 18925
Description: Lemma for ordtbas 18929. In a total order, unbounded-above intervals are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
Assertion
Ref Expression
ordtbaslem  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem ordtbaslem
Dummy variables  a 
b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anrot 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )  <->  ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)
2 ordtval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  dom  R
32tsrlemax 15510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
y  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
41, 3sylan2br 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  ( y R a  \/  y R b ) ) )
543exp2 1206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( a  e.  X  ->  ( b  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) ) ) ) )
65imp42 594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  (
y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( y R a  \/  y R b ) ) )
76notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <->  -.  ( y R a  \/  y R b ) ) )
8 ioran 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( y R a  \/  y R b )  <->  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) )
97, 8syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  TosetRel  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  y  e.  X )  ->  ( -.  y R if ( a R b ,  b ,  a )  <-> 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) ) )
109rabbidva 3069 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
11 ifcl 3940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1211ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X
)
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  if (
a R b ,  b ,  a )  e.  X )
14 dmexg 6620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
152, 14syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
1615adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  X  e.  _V )
17 rabexg 4551 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  _V )
1910, 18eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )
20 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
21 breq2 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( y R x  <-> 
y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2221notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  -> 
( -.  y R x  <->  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) ) )
2322rabbidv 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  if ( a R b ,  b ,  a )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) } )
2420, 23elrnmpt1s 5196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
25 ordtval.2 . . . . . . . . 9  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
2624, 25syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( a R b ,  b ,  a )  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  _V )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2713, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R if ( a R b ,  b ,  a ) }  e.  A )
2810, 27eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
2928ralrimivva 2914 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A )
30 rabexg 4551 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3115, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
3231ralrimivw 2831 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
33 breq2 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
y R x  <->  y R
a ) )
3433notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R a ) )
3534rabbidv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
3635cbvmptv 4492 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( a  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
37 ineq1 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
38 inrab 3731 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }
3937, 38syl6eq 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) } )
4039eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4140ralbidv 2846 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  ->  ( A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4236, 41ralrnmpt 5962 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4332, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  y R b ) }  e.  A ) )
4429, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
)
45 rabexg 4551 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4615, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
4746ralrimivw 2831 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V )
48 breq2 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
y R x  <->  y R
b ) )
4948notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  b  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R b ) )
5049rabbidv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  b  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
5150cbvmptv 4492 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R b } )
52 ineq2 3655 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( z  i^i  w )  =  ( z  i^i 
{ y  e.  X  |  -.  y R b } ) )
5352eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( w  =  { y  e.  X  |  -.  y R b }  ->  ( ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5451, 53ralrnmpt 5962 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  X  {
y  e.  X  |  -.  y R b }  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  {
y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A ) )
5547, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5655ralbidv 2846 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. b  e.  X  ( z  i^i  { y  e.  X  |  -.  y R b } )  e.  A
) )
5744, 56mpbird 232 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
5825raleqi 3027 . . . 4  |-  ( A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w )  e.  A )
5925, 58raleqbii 2848 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z  i^i  w )  e.  A  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) A. w  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ( z  i^i  w
)  e.  A )
6057, 59sylibr 212 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A )
61 pwexg 4585 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P X  e.  _V )
6215, 61syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ~P X  e. 
_V )
63 ssrab2 3546 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X
6415adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  X  e.  _V )
65 elpw2g 4564 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  C_  X ) )
6763, 66mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  x  e.  X )  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  e.  ~P X )
6867, 20fmptd 5977 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) : X --> ~P X
)
69 frn 5674 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
) : X --> ~P X  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7068, 69syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) 
C_  ~P X )
7125, 70syl5eqss 3509 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  C_  ~P X )
7262, 71ssexd 4548 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  e.  _V )
73 inficl 7787 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w
)  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7472, 73syl 16 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z  i^i  w )  e.  A  <->  ( fi `  A )  =  A ) )
7560, 74mpbid 210 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ifcif 3900   ~Pcpw 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   dom cdm 4949   ran crn 4950   -->wf 5523   ` cfv 5527   ficfi 7772    TosetRel ctsr 15489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-fin 7425  df-fi 7773  df-ps 15490  df-tsr 15491
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