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Theorem ordtbas2 19669
Description: Lemma for ordtbas 19670. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
ordtval.4  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
Assertion
Ref Expression
ordtbas2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    x, a, y, R, b    X, a, b, x, y    B, a, b
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas2
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3652 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 ssun2 3653 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )
3 ordtval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  dom  R
4 ordtval.2 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
5 ordtval.3 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
63, 4, 5ordtuni 19668 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
7 dmexg 6716 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
83, 7syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
96, 8eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
10 uniexb 6595 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
119, 10sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
12 ssexg 4583 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  /\  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
14 ssexg 4583 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
151, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  e.  _V )
16 ssun2 3653 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
17 ssexg 4583 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
1816, 13, 17sylancr 663 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  B  e.  _V )
19 elfiun 7892 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) )  <-> 
( z  e.  ( fi `  A )  \/  z  e.  ( fi `  B )  \/  E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  <->  ( z  e.  ( fi `  A
)  \/  z  e.  ( fi `  B
)  \/  E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
213, 4ordtbaslem 19666 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
2221, 1syl6eqss 3539 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  C_  ( A  u.  B )
)
23 ssun1 3652 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
2422, 23syl6ss 3501 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  C_  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
2524sseld 3488 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  A
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
26 cnvtsr 15830 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  `' R  e.  TosetRel  )
27 df-rn 5000 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  =  dom  `' R
28 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } )  =  ran  ( x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } )
2927, 28ordtbaslem 19666 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )  =  ran  ( x  e. 
ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  ran  R 
|->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )  =  ran  (
x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
31 tsrps 15829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
323psrn 15817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  ran  R )
34 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
35 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
3634, 35brcnv 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
3736bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x R y  <->  y `' R x )
3837notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x R y  <->  -.  y `' R x )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( -.  x R y  <->  -.  y `' R x ) )
4033, 39rabeqbidv 3090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  =  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } )
4133, 40mpteq12dv 4515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e. 
ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
4241rneqd 5220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  ( x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
435, 42syl5eq 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  B  =  ran  ( x  e.  ran  R 
|->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
4443fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  =  ( fi `  ran  (
x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) ) )
4530, 44, 433eqtr4d 2494 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  =  B )
4645, 16syl6eqss 3539 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  C_  ( A  u.  B )
)
4746, 23syl6ss 3501 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  C_  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
4847sseld 3488 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  B
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
49 ssun2 3653 . . . . . . . 8  |-  C  C_  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
5021, 4syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
5150eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( m  e.  ( fi `  A
)  <->  m  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
52 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  m  e. 
_V
53 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
y R x  <->  y R
a ) )
5453notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R a ) )
5554rabbidv 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
5655cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( a  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
5756elrnmpt 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  _V  ->  (
m  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)  <->  E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } ) )
5852, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  <->  E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
5951, 58syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( m  e.  ( fi `  A
)  <->  E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } ) )
6045, 5syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
6160eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( n  e.  ( fi `  B
)  <->  n  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )
62 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  e. 
_V
63 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  b  ->  (
x R y  <->  b R
y ) )
6463notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  b  ->  ( -.  x R y  <->  -.  b R y ) )
6564rabbidv 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  b  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
6665cbvmptv 4528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
6766elrnmpt 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  _V  ->  (
n  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
6862, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
6961, 68syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( n  e.  ( fi `  B
)  <->  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
7059, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( m  e.  ( fi `  A )  /\  n  e.  ( fi `  B
) )  <->  ( E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) ) )
71 reeanv 3011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  (
m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  <-> 
( E. a  e.  X  m  =  {
y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  E. b  e.  X  n  =  {
y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
72 ineq12 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
73 inrab 3755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }
7472, 73syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  ( m  i^i  n )  =  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7574reximi 2911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  X  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7675reximi 2911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  (
m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7771, 76sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7870, 77syl6bi 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( m  e.  ( fi `  A )  /\  n  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n )  =  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) )
7978imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8052inex1 4578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  i^i  n )  e. 
_V
81 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  =  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8281elrnmpt2g 6399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  i^i  n )  e.  _V  ->  (
( m  i^i  n
)  e.  ran  (
a  e.  X , 
b  e.  X  |->  { y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  <->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) )
8380, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  i^i  n )  e.  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  <->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8479, 83sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  e.  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) )
85 ordtval.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8684, 85syl6eleqr 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  e.  C
)
8749, 86sseldi 3487 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  e.  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
88 eleq1 2515 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( m  i^i  n )  ->  (
z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C )  <->  ( m  i^i  n )  e.  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
8987, 88syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( z  =  ( m  i^i  n
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
9089rexlimdvva 2942 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n )  ->  z  e.  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
9125, 48, 903jaod 1293 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( z  e.  ( fi `  A )  \/  z  e.  ( fi `  B
)  \/  E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n ) )  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
9220, 91sylbid 215 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
9392ssrdv 3495 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
94 ssfii 7881 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
9513, 94syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
97 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  a  e.  X )
98 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
9955eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  <->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } ) )
10099rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
10197, 98, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1028adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  X  e.  _V )
103 rabexg 4587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
104 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
105104elrnmpt 5239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
106102, 103, 1053syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( {
y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
107101, 106mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
108107, 4syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  A )
1091, 108sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ( A  u.  B
) )
11096, 109sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
111 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  b  e.  X )
112 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
11365eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  ( { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  <->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
114113rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
115111, 112, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
116 rabexg 4587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  _V )
117 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
118117elrnmpt 5239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
119102, 116, 1183syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( {
y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
120115, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
121120, 5syl6eleqr 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  B )
12216, 121sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ( A  u.  B
) )
12396, 122sseldd 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
124 fiin 7884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  /\  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) ) )
125110, 123, 124syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( {
y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
12673, 125syl5eqelr 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) ) )
127126ralrimivva 2864 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
12881fmpt2 6852 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  <->  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) : ( X  X.  X ) --> ( fi `  ( A  u.  B )
) )
129127, 128sylib 196 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) : ( X  X.  X ) --> ( fi `  ( A  u.  B )
) )
130 frn 5727 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  X , 
b  e.  X  |->  { y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) : ( X  X.  X ) --> ( fi `  ( A  u.  B ) )  ->  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
131129, 130syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
13285, 131syl5eqss 3533 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  C  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
13395, 132unssd 3665 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
13493, 133eqssd 3506 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 973    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4014   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   ` cfv 5578    |-> cmpt2 6283   ficfi 7872   PosetRelcps 15806    TosetRel ctsr 15807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-fin 7522  df-fi 7873  df-ps 15808  df-tsr 15809
This theorem is referenced by:  ordtbas  19670  leordtval  19691
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