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Theorem ordtbas2 17209
Description: Lemma for ordtbas 17210. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
ordtval.4  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
Assertion
Ref Expression
ordtbas2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    x, a, y, R, b    X, a, b, x, y    B, a, b
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas2
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3470 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 ssun2 3471 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )
3 ordtval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  dom  R
4 ordtval.2 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
5 ordtval.3 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
63, 4, 5ordtuni 17208 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
7 dmexg 5089 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
83, 7syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
96, 8eqeltrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
10 uniexb 4711 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
119, 10sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
12 ssexg 4309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  /\  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
14 ssexg 4309 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
151, 13, 14sylancr 645 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A  e.  _V )
16 ssun2 3471 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
17 ssexg 4309 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
1816, 13, 17sylancr 645 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  B  e.  _V )
19 elfiun 7393 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) )  <-> 
( z  e.  ( fi `  A )  \/  z  e.  ( fi `  B )  \/  E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
2015, 18, 19syl2anc 643 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  <->  ( z  e.  ( fi `  A
)  \/  z  e.  ( fi `  B
)  \/  E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
213, 4ordtbaslem 17206 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  A )
2221, 1syl6eqss 3358 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  C_  ( A  u.  B )
)
23 ssun1 3470 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
2422, 23syl6ss 3320 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  C_  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
2524sseld 3307 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  A
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
26 cnvtsr 14609 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  `' R  e.  TosetRel  )
27 df-rn 4848 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  R  =  dom  `' R
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } )  =  ran  ( x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } )
2927, 28ordtbaslem 17206 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )  =  ran  ( x  e. 
ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  ran  R 
|->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )  =  ran  (
x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
31 tsrps 14608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  R  e.  PosetRel )
323psrn 14596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  ran  R )
34 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
35 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
3634, 35brcnv 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
3736bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x R y  <->  y `' R x )
3837notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x R y  <->  -.  y `' R x )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( -.  x R y  <->  -.  y `' R x ) )
4033, 39rabeqbidv 2911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  =  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } )
4133, 40mpteq12dv 4247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e. 
ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
4241rneqd 5056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ran  ( x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
435, 42syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  B  =  ran  ( x  e.  ran  R 
|->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) )
4443fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  =  ( fi `  ran  (
x  e.  ran  R  |->  { y  e.  ran  R  |  -.  y `' R x } ) ) )
4530, 44, 433eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  =  B )
4645, 16syl6eqss 3358 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  C_  ( A  u.  B )
)
4746, 23syl6ss 3320 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  C_  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
4847sseld 3307 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  B
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
49 ssun2 3471 . . . . . . . 8  |-  C  C_  ( ( A  u.  B )  u.  C
)
5021, 4syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  A )  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
5150eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( m  e.  ( fi `  A
)  <->  m  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) ) )
52 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  m  e. 
_V
53 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
y R x  <->  y R
a ) )
5453notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R a ) )
5554rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  { y  e.  X  |  -.  y R x }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
5655cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( a  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
5756elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  _V  ->  (
m  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)  <->  E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } ) )
5852, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  <->  E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
5951, 58syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( m  e.  ( fi `  A
)  <->  E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } ) )
6045, 5syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  B )  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
6160eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( n  e.  ( fi `  B
)  <->  n  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) ) )
62 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  e. 
_V
63 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  b  ->  (
x R y  <->  b R
y ) )
6463notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  b  ->  ( -.  x R y  <->  -.  b R y ) )
6564rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  b  ->  { y  e.  X  |  -.  x R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
6665cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
6766elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  _V  ->  (
n  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
6862, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
6961, 68syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( n  e.  ( fi `  B
)  <->  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
7059, 69anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( m  e.  ( fi `  A )  /\  n  e.  ( fi `  B
) )  <->  ( E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) ) )
71 reeanv 2835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  (
m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  <-> 
( E. a  e.  X  m  =  {
y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  E. b  e.  X  n  =  {
y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
72 ineq12 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  ( m  i^i  n )  =  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
73 inrab 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }
7472, 73syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  ( m  i^i  n )  =  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7574reximi 2773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  X  ( m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7675reximi 2773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a  e.  X  E. b  e.  X  (
m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7771, 76sylbir 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. a  e.  X  m  =  { y  e.  X  |  -.  y R a }  /\  E. b  e.  X  n  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
7870, 77syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( m  e.  ( fi `  A )  /\  n  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n )  =  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) )
7978imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8052inex1 4304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  i^i  n )  e. 
_V
81 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  =  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8281elrnmpt2g 6141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  i^i  n )  e.  _V  ->  (
( m  i^i  n
)  e.  ran  (
a  e.  X , 
b  e.  X  |->  { y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  <->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) )
8380, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  i^i  n )  e.  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  <->  E. a  e.  X  E. b  e.  X  ( m  i^i  n
)  =  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8479, 83sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  e.  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) )
85 ordtval.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
8684, 85syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  e.  C
)
8749, 86sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( m  i^i  n )  e.  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
88 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( m  i^i  n )  ->  (
z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C )  <->  ( m  i^i  n )  e.  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
8987, 88syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  A )  /\  n  e.  ( fi `  B ) ) )  ->  ( z  =  ( m  i^i  n
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
9089rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n )  ->  z  e.  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
9125, 48, 903jaod 1248 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( z  e.  ( fi `  A )  \/  z  e.  ( fi `  B
)  \/  E. m  e.  ( fi `  A
) E. n  e.  ( fi `  B
) z  =  ( m  i^i  n ) )  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
9220, 91sylbid 207 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  ->  z  e.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
9392ssrdv 3314 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
94 ssfii 7382 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B )
) )
9513, 94syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
9695adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
97 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  a  e.  X )
98 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )
9955eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x }  <->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } ) )
10099rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R a } )  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
10197, 98, 100syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
1028adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  X  e.  _V )
103 rabexg 4313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V )
104 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
105104elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x }
)  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
106102, 103, 1053syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( {
y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  y R a }  =  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
107101, 106mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } ) )
108107, 4syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  A )
1091, 108sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ( A  u.  B
) )
11096, 109sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
111 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  b  e.  X )
112 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )
11365eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  ( { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y }  <->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } ) )
114113rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  X  /\  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
115111, 112, 114syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
116 rabexg 4313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  _V  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  _V )
117 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
118117elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  _V  ->  ( { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ran  (
x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
119102, 116, 1183syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( {
y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )  <->  E. x  e.  X  { y  e.  X  |  -.  b R y }  =  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
120115, 119mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } ) )
121120, 5syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  B )
12216, 121sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ( A  u.  B
) )
12396, 122sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
124 fiin 7385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y  e.  X  |  -.  y R a }  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  /\  { y  e.  X  |  -.  b R y }  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( { y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) ) )
125110, 123, 124syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( {
y  e.  X  |  -.  y R a }  i^i  { y  e.  X  |  -.  b R y } )  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
12673, 125syl5eqelr 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) ) )
127126ralrimivva 2758 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) ) )
12881fmpt2 6377 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  {
y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) }  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  <->  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) : ( X  X.  X ) --> ( fi `  ( A  u.  B )
) )
129127, 128sylib 189 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) : ( X  X.  X ) --> ( fi `  ( A  u.  B )
) )
130 frn 5556 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  X , 
b  e.  X  |->  { y  e.  X  | 
( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } ) : ( X  X.  X ) --> ( fi `  ( A  u.  B ) )  ->  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
131129, 130syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
13285, 131syl5eqss 3352 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  C  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
13395, 132unssd 3483 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( fi `  ( A  u.  B ) ) )
13493, 133eqssd 3325 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   ` cfv 5413    e. cmpt2 6042   ficfi 7373   PosetRelcps 14579    TosetRel ctsr 14580
This theorem is referenced by:  ordtbas  17210  leordtval  17231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-ps 14584  df-tsr 14585
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