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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ordtbas | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.) |
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ordtval.1 |
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ordtval.2 |
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ordtval.3 |
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ordtval.4 |
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ordtbas |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | snex 4640 |
. . . . . 6
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2 | ssun2 3597 |
. . . . . . 7
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3 | ordtval.1 |
. . . . . . . . . 10
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4 | ordtval.2 |
. . . . . . . . . 10
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5 | ordtval.3 |
. . . . . . . . . 10
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6 | 3, 4, 5 | ordtuni 20199 |
. . . . . . . . 9
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7 | dmexg 6721 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 3, 7 | syl5eqel 2532 |
. . . . . . . . 9
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9 | 6, 8 | eqeltrrd 2529 |
. . . . . . . 8
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10 | uniexb 6598 |
. . . . . . . 8
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11 | 9, 10 | sylibr 216 |
. . . . . . 7
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12 | ssexg 4548 |
. . . . . . 7
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13 | 2, 11, 12 | sylancr 668 |
. . . . . 6
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14 | elfiun 7941 |
. . . . . 6
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15 | 1, 13, 14 | sylancr 668 |
. . . . 5
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16 | fisn 7938 |
. . . . . . . . 9
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17 | ssun1 3596 |
. . . . . . . . 9
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18 | 16, 17 | eqsstri 3461 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | sseli 3427 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . 6
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21 | ordtval.4 |
. . . . . . . . 9
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22 | 3, 4, 5, 21 | ordtbas2 20200 |
. . . . . . . 8
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23 | ssun2 3597 |
. . . . . . . 8
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24 | 22, 23 | syl6eqss 3481 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | sseld 3430 |
. . . . . 6
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26 | fipwuni 7937 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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27 | 26 | sseli 3427 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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28 | 27 | elpwid 3960 |
. . . . . . . . . . . . 13
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29 | 28 | ad2antll 734 |
. . . . . . . . . . . 12
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30 | 2 | unissi 4220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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31 | 30, 6 | syl5sseqr 3480 |
. . . . . . . . . . . . 13
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32 | 31 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . 12
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33 | 29, 32 | sstrd 3441 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | simprl 763 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 34, 16 | syl6eleq 2538 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | elsni 3992 |
. . . . . . . . . . . 12
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37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 33, 37 | sseqtr4d 3468 |
. . . . . . . . . 10
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39 | dfss1 3636 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 38, 39 | sylib 200 |
. . . . . . . . 9
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41 | 24 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | adantrl 721 |
. . . . . . . . 9
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43 | 40, 42 | eqeltrd 2528 |
. . . . . . . 8
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44 | eleq1 2516 |
. . . . . . . 8
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45 | 43, 44 | syl5ibrcom 226 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | rexlimdvva 2885 |
. . . . . 6
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47 | 20, 25, 46 | 3jaod 1331 |
. . . . 5
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48 | 15, 47 | sylbid 219 |
. . . 4
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49 | 48 | ssrdv 3437 |
. . 3
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50 | ssfii 7930 |
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51 | 11, 50 | syl 17 |
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52 | 51 | unssad 3610 |
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53 | fiss 7935 |
. . . . . 6
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54 | 11, 2, 53 | sylancl 667 |
. . . . 5
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55 | 22, 54 | eqsstr3d 3466 |
. . . 4
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56 | 52, 55 | unssd 3609 |
. . 3
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57 | 49, 56 | eqssd 3448 |
. 2
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58 | unass 3590 |
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59 | 57, 58 | syl6eqr 2502 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-int 4234 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-1o 7179 df-oadd 7183 df-er 7360 df-en 7567 df-fin 7570 df-fi 7922 df-ps 16439 df-tsr 16440 |
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