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Theorem ordtbas 19820
Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
ordtval.4  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
Assertion
Ref Expression
ordtbas  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  u.  C ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    x, a, y, R, b    X, a, b, x, y    B, a, b
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4697 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
2 ssun2 3664 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )
3 ordtval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  dom  R
4 ordtval.2 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
5 ordtval.3 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
63, 4, 5ordtuni 19818 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
7 dmexg 6730 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
83, 7syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
96, 8eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
10 uniexb 6609 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
119, 10sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
12 ssexg 4602 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  /\  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
14 elfiun 7908 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  <->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  \/  E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
151, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  <->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  \/  E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
16 fisn 7905 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  { X }
)  =  { X }
17 ssun1 3663 . . . . . . . . 9  |-  { X }  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )
1816, 17eqsstri 3529 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  { X }
)  C_  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
1918sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( fi `  { X } )  -> 
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
21 ordtval.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
223, 4, 5, 21ordtbas2 19819 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
23 ssun2 3664 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )
2422, 23syl6eqss 3549 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
2524sseld 3498 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
26 fipwuni 7904 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ~P U. ( A  u.  B )
2726sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  ->  n  e.  ~P U. ( A  u.  B ) )
2827elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  ->  n  C_ 
U. ( A  u.  B ) )
2928ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. ( A  u.  B ) )
302unissi 4274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( A  u.  B )  C_ 
U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )
3130, 6syl5sseqr 3548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X
)
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3329, 32sstrd 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_  X )
34 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  e.  ( fi `  { X } ) )
3534, 16syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  e.  { X } )
36 elsni 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { X }  ->  m  =  X )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  =  X )
3833, 37sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_  m )
39 dfss1 3699 . . . . . . . . . 10  |-  ( n 
C_  m  <->  ( m  i^i  n )  =  n )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
m  i^i  n )  =  n )
4124sselda 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  ->  n  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
4241adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
4340, 42eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
m  i^i  n )  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
44 eleq1 2529 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( m  i^i  n )  ->  (
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )  <->  ( m  i^i  n )  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4543, 44syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
z  =  ( m  i^i  n )  -> 
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) ) )
4645rexlimdvva 2956 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4720, 25, 463jaod 1292 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  \/ 
E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4815, 47sylbid 215 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4948ssrdv 3505 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
50 ssfii 7897 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5111, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5251unssad 3677 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { X }  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
53 fiss 7902 . . . . . 6  |-  ( ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5411, 2, 53sylancl 662 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5522, 54eqsstr3d 3534 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5652, 55unssd 3676 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5749, 56eqssd 3516 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
58 unass 3657 . 2  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  u.  C
)  =  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
5957, 58syl6eqr 2516 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  u.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594    |-> cmpt2 6298   ficfi 7888    TosetRel ctsr 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-ps 15957  df-tsr 15958
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