Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtbas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ordtbas 20201
 Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1
ordtval.2
ordtval.3
ordtval.4
Assertion
Ref Expression
ordtbas
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem ordtbas
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4640 . . . . . 6
2 ssun2 3597 . . . . . . 7
3 ordtval.1 . . . . . . . . . 10
4 ordtval.2 . . . . . . . . . 10
5 ordtval.3 . . . . . . . . . 10
63, 4, 5ordtuni 20199 . . . . . . . . 9
7 dmexg 6721 . . . . . . . . . 10
83, 7syl5eqel 2532 . . . . . . . . 9
96, 8eqeltrrd 2529 . . . . . . . 8
10 uniexb 6598 . . . . . . . 8
119, 10sylibr 216 . . . . . . 7
12 ssexg 4548 . . . . . . 7
132, 11, 12sylancr 668 . . . . . 6
14 elfiun 7941 . . . . . 6
151, 13, 14sylancr 668 . . . . 5
16 fisn 7938 . . . . . . . . 9
17 ssun1 3596 . . . . . . . . 9
1816, 17eqsstri 3461 . . . . . . . 8
1918sseli 3427 . . . . . . 7
2019a1i 11 . . . . . 6
21 ordtval.4 . . . . . . . . 9
223, 4, 5, 21ordtbas2 20200 . . . . . . . 8
23 ssun2 3597 . . . . . . . 8
2422, 23syl6eqss 3481 . . . . . . 7
2524sseld 3430 . . . . . 6
26 fipwuni 7937 . . . . . . . . . . . . . . 15
2726sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . 14
2827elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . 13
2928ad2antll 734 . . . . . . . . . . . 12
302unissi 4220 . . . . . . . . . . . . . 14
3130, 6syl5sseqr 3480 . . . . . . . . . . . . 13
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
3329, 32sstrd 3441 . . . . . . . . . . 11
34 simprl 763 . . . . . . . . . . . . 13
3534, 16syl6eleq 2538 . . . . . . . . . . . 12
36 elsni 3992 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11
3833, 37sseqtr4d 3468 . . . . . . . . . 10
39 dfss1 3636 . . . . . . . . . 10
4038, 39sylib 200 . . . . . . . . 9
4124sselda 3431 . . . . . . . . . 10
4241adantrl 721 . . . . . . . . 9
4340, 42eqeltrd 2528 . . . . . . . 8
44 eleq1 2516 . . . . . . . 8
4543, 44syl5ibrcom 226 . . . . . . 7
4645rexlimdvva 2885 . . . . . 6
4720, 25, 463jaod 1331 . . . . 5
4815, 47sylbid 219 . . . 4
4948ssrdv 3437 . . 3
50 ssfii 7930 . . . . . 6
5111, 50syl 17 . . . . 5
5251unssad 3610 . . . 4
53 fiss 7935 . . . . . 6
5411, 2, 53sylancl 667 . . . . 5
5522, 54eqsstr3d 3466 . . . 4
5652, 55unssd 3609 . . 3
5749, 56eqssd 3448 . 2
58 unass 3590 . 2
5957, 58syl6eqr 2502 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3o 983   wceq 1443   wcel 1886  wrex 2737  crab 2740  cvv 3044   cun 3401   cin 3402   wss 3403  cpw 3950  csn 3967  cuni 4197   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cdm 4833   crn 4834  cfv 5581   cmpt2 6290  cfi 7921   ctsr 16438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-fi 7922  df-ps 16439  df-tsr 16440 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator