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Theorem ordtbas 20201
Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
ordtval.4  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
Assertion
Ref Expression
ordtbas  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  u.  C ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    x, a, y, R, b    X, a, b, x, y    B, a, b
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4640 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
2 ssun2 3597 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )
3 ordtval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  dom  R
4 ordtval.2 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
5 ordtval.3 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
63, 4, 5ordtuni 20199 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
7 dmexg 6721 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
83, 7syl5eqel 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
96, 8eqeltrrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
10 uniexb 6598 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
119, 10sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
12 ssexg 4548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  /\  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
14 elfiun 7941 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  <->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  \/  E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
151, 13, 14sylancr 668 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  <->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  \/  E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
16 fisn 7938 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  { X }
)  =  { X }
17 ssun1 3596 . . . . . . . . 9  |-  { X }  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )
1816, 17eqsstri 3461 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  { X }
)  C_  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
1918sseli 3427 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( fi `  { X } )  -> 
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
21 ordtval.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
223, 4, 5, 21ordtbas2 20200 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
23 ssun2 3597 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )
2422, 23syl6eqss 3481 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
2524sseld 3430 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
26 fipwuni 7937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ~P U. ( A  u.  B )
2726sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  ->  n  e.  ~P U. ( A  u.  B ) )
2827elpwid 3960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  ->  n  C_ 
U. ( A  u.  B ) )
2928ad2antll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. ( A  u.  B ) )
302unissi 4220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( A  u.  B )  C_ 
U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )
3130, 6syl5sseqr 3480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X
)
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3329, 32sstrd 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_  X )
34 simprl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  e.  ( fi `  { X } ) )
3534, 16syl6eleq 2538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  e.  { X } )
36 elsni 3992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { X }  ->  m  =  X )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  =  X )
3833, 37sseqtr4d 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_  m )
39 dfss1 3636 . . . . . . . . . 10  |-  ( n 
C_  m  <->  ( m  i^i  n )  =  n )
4038, 39sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
m  i^i  n )  =  n )
4124sselda 3431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  ->  n  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
4241adantrl 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
4340, 42eqeltrd 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
m  i^i  n )  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
44 eleq1 2516 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( m  i^i  n )  ->  (
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )  <->  ( m  i^i  n )  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4543, 44syl5ibrcom 226 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
z  =  ( m  i^i  n )  -> 
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) ) )
4645rexlimdvva 2885 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4720, 25, 463jaod 1331 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  \/ 
E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4815, 47sylbid 219 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4948ssrdv 3437 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
50 ssfii 7930 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5111, 50syl 17 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5251unssad 3610 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { X }  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
53 fiss 7935 . . . . . 6  |-  ( ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5411, 2, 53sylancl 667 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5522, 54eqsstr3d 3466 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5652, 55unssd 3609 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5749, 56eqssd 3448 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
58 unass 3590 . 2  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  u.  C
)  =  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
5957, 58syl6eqr 2502 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  u.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 983    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   ` cfv 5581    |-> cmpt2 6290   ficfi 7921    TosetRel ctsr 16438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-fi 7922  df-ps 16439  df-tsr 16440
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