Theorem ordtbas 20201

Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtval.1	|- X = dom R
ordtval.2	|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
ordtval.3	|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
ordtval.4	|- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ordtbas	|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) )

Distinct variable groups:   a, b, A   x, a, y, R, b   X, a, b, x, y   B, a, b

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas

Dummy variables m n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4640	. . . . . 6 |- { X } e. _V
2		ssun2 3597	. . . . . . 7 |- ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) )
3		ordtval.1	. . . . . . . . . 10 |- X = dom R
4		ordtval.2	. . . . . . . . . 10 |- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
5		ordtval.3	. . . . . . . . . 10 |- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
6	3, 4, 5	ordtuni 20199	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) )
7		dmexg 6721	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
8	3, 7	syl5eqel 2532	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X e. _V )
9	6, 8	eqeltrrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
10		uniexb 6598	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
11	9, 10	sylibr 216	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
12		ssexg 4548	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) /\ ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 668	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( A u. B ) e. _V )
14		elfiun 7941	. . . . . 6 |- ( ( { X } e. _V /\ ( A u. B ) e. _V ) -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) )
15	1, 13, 14	sylancr 668	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) )
16		fisn 7938	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` { X } ) = { X }
17		ssun1 3596	. . . . . . . . 9 |- { X } C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
18	16, 17	eqsstri 3461	. . . . . . . 8 |- ( fi ` { X } ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
19	18	sseli 3427	. . . . . . 7 |- ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
21		ordtval.4	. . . . . . . . 9 |- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
22	3, 4, 5, 21	ordtbas2 20200	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
23		ssun2 3597	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
24	22, 23	syl6eqss 3481	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
25	24	sseld 3430	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
26		fipwuni 7937	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ~P U. ( A u. B )
27	26	sseli 3427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n e. ~P U. ( A u. B ) )
28	27	elpwid 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) )
29	28	ad2antll 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) )
30	2	unissi 4220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( A u. B ) C_ U. ( { X } u. ( A u. B ) )
31	30, 6	syl5sseqr 3480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> U. ( A u. B ) C_ X )
32	31	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> U. ( A u. B ) C_ X )
33	29, 32	sstrd 3441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ X )
34		simprl 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. ( fi ` { X } ) )
35	34, 16	syl6eleq 2538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. { X } )
36		elsni 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { X } -> m = X )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m = X )
38	33, 37	sseqtr4d 3468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ m )
39		dfss1 3636	. . . . . . . . . 10 |- ( n C_ m <-> ( m i^i n ) = n )
40	38, 39	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) = n )
41	24	sselda 3431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
42	41	adantrl 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
43	40, 42	eqeltrd 2528	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
44		eleq1 2516	. . . . . . . 8 |- ( z = ( m i^i n ) -> ( z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) <-> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
45	43, 44	syl5ibrcom 226	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
46	45	rexlimdvva 2885	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
47	20, 25, 46	3jaod 1331	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
48	15, 47	sylbid 219	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
49	48	ssrdv 3437	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
50		ssfii 7930	. . . . . 6 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
51	11, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
52	51	unssad 3610	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> { X } C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
53		fiss 7935	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V /\ ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
54	11, 2, 53	sylancl 667	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
55	22, 54	eqsstr3d 3466	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
56	52, 55	unssd 3609	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
57	49, 56	eqssd 3448	. 2 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
58		unass 3590	. 2 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
59	57, 58	syl6eqr 2502	1 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 983   = wceq 1443   e. wcel 1886   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   u. cun 3401   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   ` cfv 5581   |-> cmpt2 6290   ficfi 7921   TosetRel ctsr 16438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-fi 7922  df-ps 16439  df-tsr 16440

This theorem is referenced by: (None)