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Theorem ordtbas 18794
Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtval.1  |-  X  =  dom  R
ordtval.2  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
ordtval.3  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
ordtval.4  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
Assertion
Ref Expression
ordtbas  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  u.  C ) )
Distinct variable groups:    a, b, A    x, a, y, R, b    X, a, b, x, y    B, a, b
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas
Dummy variables  m  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4531 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
2 ssun2 3518 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )
3 ordtval.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  dom  R
4 ordtval.2 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  y R x } )
5 ordtval.3 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ran  ( x  e.  X  |->  { y  e.  X  |  -.  x R y } )
63, 4, 5ordtuni 18792 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  =  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )
7 dmexg 6507 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  dom  R  e.  _V )
83, 7syl5eqel 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  X  e.  _V )
96, 8eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
10 uniexb 6384 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  <->  U. ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
119, 10sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  e. 
_V )
12 ssexg 4436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  /\  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
)  e.  _V )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
132, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
14 elfiun 7678 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  ( A  u.  B )  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  <->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  \/  E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
151, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  <->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  \/  E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) ) ) )
16 fisn 7675 . . . . . . . . 9  |-  ( fi
`  { X }
)  =  { X }
17 ssun1 3517 . . . . . . . . 9  |-  { X }  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )
1816, 17eqsstri 3384 . . . . . . . 8  |-  ( fi
`  { X }
)  C_  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
1918sseli 3350 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( fi `  { X } )  -> 
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  { X } )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
21 ordtval.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  ran  ( a  e.  X ,  b  e.  X  |->  { y  e.  X  |  ( -.  y R a  /\  -.  b R y ) } )
223, 4, 5, 21ordtbas2 18793 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  u.  C ) )
23 ssun2 3518 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) )
2422, 23syl6eqss 3404 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) )
2524sseld 3353 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
)  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
26 fipwuni 7674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  C_  ~P U. ( A  u.  B )
2726sseli 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  ->  n  e.  ~P U. ( A  u.  B ) )
2827elpwid 3868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( fi `  ( A  u.  B
) )  ->  n  C_ 
U. ( A  u.  B ) )
2928ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_ 
U. ( A  u.  B ) )
302unissi 4112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( A  u.  B )  C_ 
U. ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )
3130, 6syl5sseqr 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X
)
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  U. ( A  u.  B )  C_  X )
3329, 32sstrd 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_  X )
34 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  e.  ( fi `  { X } ) )
3534, 16syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  e.  { X } )
36 elsni 3900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  { X }  ->  m  =  X )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  m  =  X )
3833, 37sseqtr4d 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  C_  m )
39 dfss1 3553 . . . . . . . . . 10  |-  ( n 
C_  m  <->  ( m  i^i  n )  =  n )
4038, 39sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
m  i^i  n )  =  n )
4124sselda 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) )  ->  n  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
4241adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  n  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
4340, 42eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
m  i^i  n )  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
44 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( m  i^i  n )  ->  (
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )  <->  ( m  i^i  n )  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4543, 44syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  TosetRel  /\  (
m  e.  ( fi
`  { X }
)  /\  n  e.  ( fi `  ( A  u.  B ) ) ) )  ->  (
z  =  ( m  i^i  n )  -> 
z  e.  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) ) ) )
4645rexlimdvva 2846 . . . . . 6  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4720, 25, 463jaod 1282 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( z  e.  ( fi `  { X } )  \/  z  e.  ( fi
`  ( A  u.  B ) )  \/ 
E. m  e.  ( fi `  { X } ) E. n  e.  ( fi `  ( A  u.  B )
) z  =  ( m  i^i  n ) )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4815, 47sylbid 215 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( z  e.  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  ->  z  e.  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) ) )
4948ssrdv 3360 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
50 ssfii 7667 . . . . . 6  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5111, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5251unssad 3531 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  { X }  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
53 fiss 7672 . . . . . 6  |-  ( ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  e.  _V  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) )  ->  ( fi `  ( A  u.  B ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5411, 2, 53sylancl 662 . . . . 5  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( A  u.  B
) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5522, 54eqsstr3d 3389 . . . 4  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( ( A  u.  B )  u.  C )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B ) ) ) )
5652, 55unssd 3530 . . 3  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C ) )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B )
) ) )
5749, 56eqssd 3371 . 2  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( { X }  u.  ( ( A  u.  B )  u.  C
) ) )
58 unass 3511 . 2  |-  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B
) )  u.  C
)  =  ( { X }  u.  (
( A  u.  B
)  u.  C ) )
5957, 58syl6eqr 2491 1  |-  ( R  e.  TosetRel  ->  ( fi `  ( { X }  u.  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( { X }  u.  ( A  u.  B ) )  u.  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   {csn 3875   U.cuni 4089   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   dom cdm 4838   ran crn 4839   ` cfv 5416    e. cmpt2 6091   ficfi 7658    TosetRel ctsr 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659  df-ps 15368  df-tsr 15369
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