Theorem ordtbas 19820

Description: In a total order, the finite intersections of the open rays generates the set of open intervals, but no more - these four collections form a subbasis for the order topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtval.1	|- X = dom R
ordtval.2	|- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
ordtval.3	|- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
ordtval.4	|- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ordtbas	|- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) )

Distinct variable groups:   a, b, A   x, a, y, R, b   X, a, b, x, y   B, a, b

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y, a, b)

Proof of Theorem ordtbas

Dummy variables m n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4697	. . . . . 6 |- { X } e. _V
2		ssun2 3664	. . . . . . 7 |- ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) )
3		ordtval.1	. . . . . . . . . 10 |- X = dom R
4		ordtval.2	. . . . . . . . . 10 |- A = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. y R x } )
5		ordtval.3	. . . . . . . . . 10 |- B = ran ( x e. X |-> { y e. X | -. x R y } )
6	3, 4, 5	ordtuni 19818	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X = U. ( { X } u. ( A u. B ) ) )
7		dmexg 6730	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
8	3, 7	syl5eqel 2549	. . . . . . . . 9 |- ( R e. TosetRel -> X e. _V )
9	6, 8	eqeltrrd 2546	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
10		uniexb 6609	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V <-> U. ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
11	9, 10	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V )
12		ssexg 4602	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) /\ ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V ) -> ( A u. B ) e. _V )
13	2, 11, 12	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( A u. B ) e. _V )
14		elfiun 7908	. . . . . 6 |- ( ( { X } e. _V /\ ( A u. B ) e. _V ) -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) )
15	1, 13, 14	sylancr 663	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) <-> ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) ) )
16		fisn 7905	. . . . . . . . 9 |- ( fi ` { X } ) = { X }
17		ssun1 3663	. . . . . . . . 9 |- { X } C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
18	16, 17	eqsstri 3529	. . . . . . . 8 |- ( fi ` { X } ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
19	18	sseli 3495	. . . . . . 7 |- ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` { X } ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
21		ordtval.4	. . . . . . . . 9 |- C = ran ( a e. X , b e. X |-> { y e. X | ( -. y R a /\ -. b R y ) } )
22	3, 4, 5, 21	ordtbas2 19819	. . . . . . . 8 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) = ( ( A u. B ) u. C ) )
23		ssun2 3664	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
24	22, 23	syl6eqss 3549	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
25	24	sseld 3498	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
26		fipwuni 7904	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ~P U. ( A u. B )
27	26	sseli 3495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n e. ~P U. ( A u. B ) )
28	27	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( fi ` ( A u. B ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) )
29	28	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ U. ( A u. B ) )
30	2	unissi 4274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( A u. B ) C_ U. ( { X } u. ( A u. B ) )
31	30, 6	syl5sseqr 3548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. TosetRel -> U. ( A u. B ) C_ X )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> U. ( A u. B ) C_ X )
33	29, 32	sstrd 3509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ X )
34		simprl 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. ( fi ` { X } ) )
35	34, 16	syl6eleq 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m e. { X } )
36		elsni 4057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. { X } -> m = X )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> m = X )
38	33, 37	sseqtr4d 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n C_ m )
39		dfss1 3699	. . . . . . . . . 10 |- ( n C_ m <-> ( m i^i n ) = n )
40	38, 39	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) = n )
41	24	sselda 3499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. TosetRel /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
42	41	adantrl 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> n e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
43	40, 42	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
44		eleq1 2529	. . . . . . . 8 |- ( z = ( m i^i n ) -> ( z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) <-> ( m i^i n ) e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
45	43, 44	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( R e. TosetRel /\ ( m e. ( fi ` { X } ) /\ n e. ( fi ` ( A u. B ) ) ) ) -> ( z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
46	45	rexlimdvva 2956	. . . . . 6 |- ( R e. TosetRel -> ( E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
47	20, 25, 46	3jaod 1292	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( ( z e. ( fi ` { X } ) \/ z e. ( fi ` ( A u. B ) ) \/ E. m e. ( fi ` { X } ) E. n e. ( fi ` ( A u. B ) ) z = ( m i^i n ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
48	15, 47	sylbid 215	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( z e. ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> z e. ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) ) )
49	48	ssrdv 3505	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) C_ ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
50		ssfii 7897	. . . . . 6 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
51	11, 50	syl 16	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
52	51	unssad 3677	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> { X } C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
53		fiss 7902	. . . . . 6 |- ( ( ( { X } u. ( A u. B ) ) e. _V /\ ( A u. B ) C_ ( { X } u. ( A u. B ) ) ) -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
54	11, 2, 53	sylancl 662	. . . . 5 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( A u. B ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
55	22, 54	eqsstr3d 3534	. . . 4 |- ( R e. TosetRel -> ( ( A u. B ) u. C ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
56	52, 55	unssd 3676	. . 3 |- ( R e. TosetRel -> ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) C_ ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) )
57	49, 56	eqssd 3516	. 2 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) ) )
58		unass 3657	. 2 |- ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) = ( { X } u. ( ( A u. B ) u. C ) )
59	57, 58	syl6eqr 2516	1 |- ( R e. TosetRel -> ( fi ` ( { X } u. ( A u. B ) ) ) = ( ( { X } u. ( A u. B ) ) u. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 972   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   ` cfv 5594   |-> cmpt2 6298   ficfi 7888   TosetRel ctsr 15956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-ps 15957  df-tsr 15958

This theorem is referenced by: (None)