Theorem ordsucun 3139

Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucun	|- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Proof of Theorem ordsucun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordssun 3136	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x (_ (A u. B) <-> (x (_ A \/ x (_ B)))
2	1	adantl 397	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ (A u. B) <-> (x (_ A \/ x (_ B)))
3		ordsssuc 3114	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ Ord (A u. B)) -> (x (_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
4		ordun 3138	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))
5	3, 4	sylan2 462	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
6		ordsssuc 3114	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord A) -> (x (_ A <-> x e. suc A))
7	6	adantrr 404	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ A <-> x e. suc A))
8		ordsssuc 3114	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord B) -> (x (_ B <-> x e. suc B))
9	8	adantrl 403	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x (_ B <-> x e. suc B))
10	7, 9	orbi12d 638	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> ((x (_ A \/ x (_ B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
11	2, 5, 10	3bitr3d 559	. . . . . 6 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
12		elun 2224	. . . . . 6 |- (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B))
13	11, 12	syl6bbr 549	. . . . 5 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
14	13	expcom 381	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. On -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B))))
15	14	pm5.32d 658	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((x e. On /\ x e. suc (A u. B)) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
16		ordsuc 3122	. . . . . 6 |- (Ord (A u. B) <-> Ord suc (A u. B))
17		ordelon 3028	. . . . . . 7 |- ((Ord suc (A u. B) /\ x e. suc (A u. B)) -> x e. On)
18	17	ex 380	. . . . . 6 |- (Ord suc (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
19	16, 18	sylbi 206	. . . . 5 |- (Ord (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
20	4, 19	syl 10	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
21	20	pm4.71rd 650	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. On /\ x e. suc (A u. B))))
22		ordun 3138	. . . . . 6 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> Ord (suc A u. suc B))
23		ordelon 3028	. . . . . . 7 |- ((Ord (suc A u. suc B) /\ x e. (suc A u. suc B)) -> x e. On)
24	23	ex 380	. . . . . 6 |- (Ord (suc A u. suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
25	22, 24	syl 10	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
26		ordsuc 3122	. . . . 5 |- (Ord A <-> Ord suc A)
27		ordsuc 3122	. . . . 5 |- (Ord B <-> Ord suc B)
28	25, 26, 27	syl2anb 466	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
29	28	pm4.71rd 650	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
30	15, 21, 29	3bitr4d 561	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
31	30	eqrdv 1520	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   u. cun 2096   (_ wss 2098  Ord word 3004  Oncon0 3005  suc csuc 3007

This theorem is referenced by:  ordunel 3141  rankpr 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-suc 3011

Copyright terms: Public domain