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Theorem ordsucun 6642
Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsucun  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )

Proof of Theorem ordsucun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordun 5510 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  Ord  ( A  u.  B ) )
2 ordsuc 6631 . . . . 5  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  <->  Ord  suc  ( A  u.  B ) )
3 ordelon 5433 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  suc  ( A  u.  B )  /\  x  e.  suc  ( A  u.  B ) )  ->  x  e.  On )
43ex 432 . . . . 5  |-  ( Ord 
suc  ( A  u.  B )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
52, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
61, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
7 ordsuc 6631 . . . 4  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
8 ordsuc 6631 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  Ord  suc  B )
9 ordun 5510 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  ->  Ord  ( suc  A  u.  suc  B ) )
10 ordelon 5433 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  /\  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) )  ->  x  e.  On )
1110ex 432 . . . . 5  |-  ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  (
x  e.  ( suc 
A  u.  suc  B
)  ->  x  e.  On ) )
129, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  -> 
( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
137, 8, 12syl2anb 477 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
14 ordssun 5508 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B
) ) )
1514adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B ) ) )
16 ordsssuc 5495 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
171, 16sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
18 ordsssuc 5495 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  A )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
1918adantrr 715 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
20 ordsssuc 5495 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  B )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2120adantrl 714 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2219, 21orbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
( x  C_  A  \/  x  C_  B )  <-> 
( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
2315, 17, 223bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
24 elun 3583 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) )
2523, 24syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2625expcom 433 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  On  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) ) )
276, 13, 26pm5.21ndd 352 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2827eqrdv 2399 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    u. cun 3411    C_ wss 3413   Ord word 5408   Oncon0 5409   suc csuc 5411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 5412  df-on 5413  df-suc 5415
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