MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucun Structured version   Unicode version

Theorem ordsucun 6633
Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordsucun  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )

Proof of Theorem ordsucun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordun 4974 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  Ord  ( A  u.  B ) )
2 ordsuc 6622 . . . . 5  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  <->  Ord  suc  ( A  u.  B ) )
3 ordelon 4897 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  suc  ( A  u.  B )  /\  x  e.  suc  ( A  u.  B ) )  ->  x  e.  On )
43ex 434 . . . . 5  |-  ( Ord 
suc  ( A  u.  B )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
52, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( Ord  ( A  u.  B
)  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  ->  x  e.  On ) )
7 ordsuc 6622 . . . 4  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
8 ordsuc 6622 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  Ord  suc  B )
9 ordun 4974 . . . . 5  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  ->  Ord  ( suc  A  u.  suc  B ) )
10 ordelon 4897 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  /\  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) )  ->  x  e.  On )
1110ex 434 . . . . 5  |-  ( Ord  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  (
x  e.  ( suc 
A  u.  suc  B
)  ->  x  e.  On ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  suc  B )  -> 
( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
137, 8, 12syl2anb 479 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  ->  x  e.  On ) )
14 ordssun 4972 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  C_  ( A  u.  B
)  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B
) ) )
1514adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  ( x  C_  A  \/  x  C_  B ) ) )
16 ordsssuc 4959 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
171, 16sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  ( A  u.  B )  <->  x  e.  suc  ( A  u.  B
) ) )
18 ordsssuc 4959 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  A )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
1918adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  A  <->  x  e.  suc  A ) )
20 ordsssuc 4959 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  Ord  B )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2120adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  C_  B  <->  x  e.  suc  B ) )
2219, 21orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
( x  C_  A  \/  x  C_  B )  <-> 
( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
2315, 17, 223bitr3d 283 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) ) )
24 elun 3640 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( suc  A  u.  suc  B )  <->  ( x  e.  suc  A  \/  x  e.  suc  B ) )
2523, 24syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )  ->  (
x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2625expcom 435 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  On  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) ) )
276, 13, 26pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( x  e.  suc  ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( suc  A  u.  suc  B ) ) )
2827eqrdv 2459 1  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  suc  ( A  u.  B )  =  ( suc  A  u.  suc  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    u. cun 3469    C_ wss 3471   Ord word 4872   Oncon0 4873   suc csuc 4875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-suc 4879
This theorem is referenced by:  rankprb  8260
  Copyright terms: Public domain W3C validator