Theorem ordsucun 3905

Description: The successor of the maximum (i.e. union) of two ordinals is the maximum of their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucun	|- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Proof of Theorem ordsucun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordssun 3769	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x C_ (A u. B) <-> (x C_ A \/ x C_ B)))
2	1	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x C_ (A u. B) <-> (x C_ A \/ x C_ B)))
3		ordsssuc 3756	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ Ord (A u. B)) -> (x C_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
4		ordun 3771	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> Ord (A u. B))
5	3, 4	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x C_ (A u. B) <-> x e. suc (A u. B)))
6		ordsssuc 3756	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord A) -> (x C_ A <-> x e. suc A))
7	6	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x C_ A <-> x e. suc A))
8		ordsssuc 3756	. . . . . . . . 9 |- ((x e. On /\ Ord B) -> (x C_ B <-> x e. suc B))
9	8	adantrl 430	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x C_ B <-> x e. suc B))
10	7, 9	orbi12d 689	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> ((x C_ A \/ x C_ B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
11	2, 5, 10	3bitr3d 607	. . . . . 6 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B)))
12		elun 2741	. . . . . 6 |- (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. suc A \/ x e. suc B))
13	11, 12	syl6bbr 597	. . . . 5 |- ((x e. On /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
14	13	expcom 403	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. On -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B))))
15	14	pm5.32d 709	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((x e. On /\ x e. suc (A u. B)) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
16		ordsuc 3895	. . . . . 6 |- (Ord (A u. B) <-> Ord suc (A u. B))
17		ordelon 3682	. . . . . . 7 |- ((Ord suc (A u. B) /\ x e. suc (A u. B)) -> x e. On)
18	17	ex 402	. . . . . 6 |- (Ord suc (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
19	16, 18	sylbi 216	. . . . 5 |- (Ord (A u. B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
20	4, 19	syl 12	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) -> x e. On))
21	20	pm4.71rd 701	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> (x e. On /\ x e. suc (A u. B))))
22		ordun 3771	. . . . . 6 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> Ord (suc A u. suc B))
23		ordelon 3682	. . . . . . 7 |- ((Ord (suc A u. suc B) /\ x e. (suc A u. suc B)) -> x e. On)
24	23	ex 402	. . . . . 6 |- (Ord (suc A u. suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
25	22, 24	syl 12	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
26		ordsuc 3895	. . . . 5 |- (Ord A <-> Ord suc A)
27		ordsuc 3895	. . . . 5 |- (Ord B <-> Ord suc B)
28	25, 26, 27	syl2anb 504	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) -> x e. On))
29	28	pm4.71rd 701	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. (suc A u. suc B) <-> (x e. On /\ x e. (suc A u. suc B))))
30	15, 21, 29	3bitr4d 609	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (x e. suc (A u. B) <-> x e. (suc A u. suc B)))
31	30	eqrdv 1882	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> suc (A u. B) = (suc A u. suc B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  ordunel 3906  rankpr 5803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain