Theorem ordsucsssuc 3904

Description: The subclass relationship between two ordinal classes is inherited by their successors.

Assertion

Ref	Expression
ordsucsssuc	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> suc A C_ suc B))

Proof of Theorem ordsucsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucelsuc 3902	. . . 4 |- (Ord A -> (B e. A <-> suc B e. suc A))
2	1	notbid 673	. . 3 |- (Ord A -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
3	2	adantr 425	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. B e. A <-> -. suc B e. suc A))
4		ordtri1 3693	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> -. B e. A))
5		ordtri1 3693	. . 3 |- ((Ord suc A /\ Ord suc B) -> (suc A C_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
6		ordsuc 3895	. . 3 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7		ordsuc 3895	. . 3 |- (Ord B <-> Ord suc B)
8	5, 6, 7	syl2anb 504	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A C_ suc B <-> -. suc B e. suc A))
9	3, 4, 8	3bitr4d 609	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> suc A C_ suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  oawordri 5232  oeworde 5268  rankel 5791  bndrank 5793

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain