Theorem ordsucss 3899

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it.

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- (Ord B -> (A e. B -> suc A C_ B))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordnbtwn 3761	. . . . . . . 8 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. suc A))
2		imnan 261	. . . . . . . 8 |- ((A e. B -> -. B e. suc A) <-> -. (A e. B /\ B e. suc A))
3	1, 2	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (Ord A -> (A e. B -> -. B e. suc A))
4	3	adantr 425	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> -. B e. suc A))
5		ordtri1 3693	. . . . . . 7 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A C_ B <-> -. B e. suc A))
6		ordsuc 3895	. . . . . . 7 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7	5, 6	sylanb 498	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A C_ B <-> -. B e. suc A))
8	4, 7	sylibrd 221	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A C_ B))
9		ordelord 3680	. . . . 5 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
10	8, 9	sylan 497	. . . 4 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A C_ B))
11	10	exp31 407	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A C_ B))))
12	11	pm2.43b 81	. 2 |- (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A C_ B)))
13	12	pm2.43b 81	1 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A C_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Ord word 3656  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  ordelsuc 3900  ordsucelsuc 3902  ordsucelsucOLD 3903  ordunel 3906  orduniorsuc 3909  tfindsg2 3945  oaordi 5227  oawordeulem 5236  oeworde 5268  inf3lem5 5723  r1ord 5766  r1val1 5769  rankval3 5792  indpi 6186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain