MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucss Structured version   Unicode version

Theorem ordsucss 6638
Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordsucss  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )

Proof of Theorem ordsucss
StepHypRef Expression
1 ordelord 4890 . . . . 5  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  Ord  A )
2 ordnbtwn 4958 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  suc  A ) )
3 imnan 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  A )  <->  -.  ( A  e.  B  /\  B  e. 
suc  A ) )
42, 3sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  A ) )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  suc  A ) )
6 ordsuc 6634 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  Ord  suc  A )
7 ordtri1 4901 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  suc  A  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A  C_  B  <->  -.  B  e.  suc  A ) )
86, 7sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( suc  A 
C_  B  <->  -.  B  e.  suc  A ) )
95, 8sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
101, 9sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  /\  Ord  B )  -> 
( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B
) )
1110exp31 604 . . 3  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) ) ) )
1211pm2.43b 50 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( Ord  B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) ) )
1312pm2.43b 50 1  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804    C_ wss 3461   Ord word 4867   suc csuc 4870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-suc 4874
This theorem is referenced by:  ordelsuc  6640  ordsucelsuc  6642  orduniorsuc  6650  tfindsg2  6681  oaordi  7197  oawordeulem  7205  omeulem2  7234  oeworde  7244  oelimcl  7251  oeeui  7253  nnaordi  7269  nnawordex  7288  oaabs2  7296  omxpenlem  7620  inf3lem5  8052  cantnflt  8094  cantnflem1d  8110  cantnfltOLD  8124  cantnflem1dOLD  8133  cnfcom  8147  cnfcomOLD  8155  r1ordg  8199  rankr1ag  8223  cfslb2n  8651  cfsmolem  8653  fin23lem26  8708  isf32lem3  8738  ttukeylem7  8898  indpi  9288
  Copyright terms: Public domain W3C validator