Theorem ordsucelsucOLD 3903

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsucOLD	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsucOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
2		ordsuc 3895	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A <-> Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 498	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
4	3	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. _V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
5		ordsucss 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A C_ B))
6	5	ad2antll 443	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. _V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B -> suc A C_ B))
7		sucssel 3763	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. _V -> (suc A C_ B -> A e. B))
8	7	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. _V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A C_ B -> A e. B))
9	6, 8	impbid 574	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. _V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A C_ B))
10		sucexb 3890	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. _V <-> suc A e. _V)
11		elsucg 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. _V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. _V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. _V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 609	. . . . . . . . 9 |- ((A e. _V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
15	14	ex 402	. . . . . . . 8 |- (A e. _V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
16		elisset 2299	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> A e. _V)
17		elisset 2299	. . . . . . . . . . 11 |- (suc A e. suc B -> suc A e. _V)
18	17, 10	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- (suc A e. suc B -> A e. _V)
19	16, 18	pm5.21ni 742	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. _V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
20	19	a1d 15	. . . . . . . 8 |- (-. A e. _V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 140	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
22	21	biimpd 170	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
23		ordelord 3680	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
24	22, 23	sylan 497	. . . . 5 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
25	24	exp31 407	. . . 4 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))))
26	25	pm2.43a 80	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (A e. B -> suc A e. suc B)))
27	26	pm2.43d 79	. 2 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))
28	21	biimprd 171	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
29		ordelord 3680	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
31		ordsuc 3895	. . . . . . 7 |- (Ord B <-> Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 498	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
33	28, 32	sylan 497	. . . . 5 |- (((Ord B /\ suc A e. suc B) /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
34	33	exp31 407	. . . 4 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))))
35	34	pm2.43a 80	. . 3 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (suc A e. suc B -> A e. B)))
36	35	pm2.43d 79	. 2 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))
37	27, 36	impbid 574	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  Ord word 3656  suc csuc 3659

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain