Theorem ordsucelsuc 3130

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsseleq 3033	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
2		ordsuc 3122	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A <-> Ord suc A)
3	1, 2	sylanb 460	. . . . . . . . . . 11 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
4	3	adantl 397	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
5		ordsucss 3126	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A (_ B))
6	5	ad2antll 416	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B -> suc A (_ B))
7		sucssel 3127	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V -> (suc A (_ B -> A e. B))
8	7	adantr 398	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A (_ B -> A e. B))
9	6, 8	impbid 527	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A (_ B))
10		sucexb 3105	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. V <-> suc A e. V)
11		elsucg 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- (suc A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	10, 11	sylbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	adantr 398	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	4, 9, 13	3bitr4d 561	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ (Ord A /\ Ord B)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
15	14	ex 380	. . . . . . . 8 |- (A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
16		elisset 1864	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> A e. V)
17		elisset 1864	. . . . . . . . . . 11 |- (suc A e. suc B -> suc A e. V)
18	17, 10	sylibr 207	. . . . . . . . . 10 |- (suc A e. suc B -> A e. V)
19	16, 18	pm5.21ni 690	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
20	19	a1d 12	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
21	15, 20	pm2.61i 132	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
22	21	biimpd 160	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
23		ordelord 3027	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
24	22, 23	sylan 459	. . . . 5 |- (((Ord B /\ A e. B) /\ Ord B) -> (A e. B -> suc A e. suc B))
25	24	exp31 385	. . . 4 |- (Ord B -> (A e. B -> (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))))
26	25	pm2.43a 68	. . 3 |- (Ord B -> (A e. B -> (A e. B -> suc A e. suc B)))
27	26	pm2.43d 66	. 2 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A e. suc B))
28	21	biimprd 161	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
29		ordelord 3027	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
30	29, 2	sylibr 207	. . . . . . 7 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
31		ordsuc 3122	. . . . . . 7 |- (Ord B <-> Ord suc B)
32	30, 31	sylanb 460	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
33	28, 32	sylan 459	. . . . 5 |- (((Ord B /\ suc A e. suc B) /\ Ord B) -> (suc A e. suc B -> A e. B))
34	33	exp31 385	. . . 4 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))))
35	34	pm2.43a 68	. . 3 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> (suc A e. suc B -> A e. B)))
36	35	pm2.43d 66	. 2 |- (Ord B -> (suc A e. suc B -> A e. B))
37	27, 36	impbid 527	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858   (_ wss 2098  Ord word 3004  suc csuc 3007

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 3131  oalimcl 4252  omlimcl 4267  pssnn 4599  r1pw 4748  rankelpr 4770  rankelop 4771  rankxplim3 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-suc 3011

Copyright terms: Public domain