Theorem ordsucelsuc 3902

Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucelsuc	|- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Proof of Theorem ordsucelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . 3 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord B)
2		ordelord 3680	. . 3 |- ((Ord B /\ A e. B) -> Ord A)
3	1, 2	jca 310	. 2 |- ((Ord B /\ A e. B) -> (Ord B /\ Ord A))
4		simpl 346	. . 3 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord B)
5		ordelord 3680	. . . . 5 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord suc A)
6		ordsuc 3895	. . . . 5 |- (Ord A <-> Ord suc A)
7	5, 6	sylibr 217	. . . 4 |- ((Ord suc B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
8		ordsuc 3895	. . . 4 |- (Ord B <-> Ord suc B)
9	7, 8	sylanb 498	. . 3 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> Ord A)
10	4, 9	jca 310	. 2 |- ((Ord B /\ suc A e. suc B) -> (Ord B /\ Ord A))
11		ordsseleq 3687	. . . . . . . 8 |- ((Ord suc A /\ Ord B) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
12	11, 6	sylanb 498	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
13	12	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
14	13	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ (Ord B /\ Ord A)) -> (suc A C_ B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
15		ordsucss 3899	. . . . . . 7 |- (Ord B -> (A e. B -> suc A C_ B))
16	15	ad2antrl 442	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ (Ord B /\ Ord A)) -> (A e. B -> suc A C_ B))
17		sucssel 3763	. . . . . . 7 |- (A e. _V -> (suc A C_ B -> A e. B))
18	17	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. _V /\ (Ord B /\ Ord A)) -> (suc A C_ B -> A e. B))
19	16, 18	impbid 574	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ (Ord B /\ Ord A)) -> (A e. B <-> suc A C_ B))
20		sucexb 3890	. . . . . . 7 |- (A e. _V <-> suc A e. _V)
21		elsucg 3732	. . . . . . 7 |- (suc A e. _V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
22	20, 21	sylbi 216	. . . . . 6 |- (A e. _V -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
23	22	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ (Ord B /\ Ord A)) -> (suc A e. suc B <-> (suc A e. B \/ suc A = B)))
24	14, 19, 23	3bitr4d 609	. . . 4 |- ((A e. _V /\ (Ord B /\ Ord A)) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
25	24	ex 402	. . 3 |- (A e. _V -> ((Ord B /\ Ord A) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
26		elisset 2299	. . . . 5 |- (A e. B -> A e. _V)
27		elisset 2299	. . . . . 6 |- (suc A e. suc B -> suc A e. _V)
28	27, 20	sylibr 217	. . . . 5 |- (suc A e. suc B -> A e. _V)
29	26, 28	pm5.21ni 742	. . . 4 |- (-. A e. _V -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
30	29	a1d 15	. . 3 |- (-. A e. _V -> ((Ord B /\ Ord A) -> (A e. B <-> suc A e. suc B)))
31	25, 30	pm2.61i 140	. 2 |- ((Ord B /\ Ord A) -> (A e. B <-> suc A e. suc B))
32	3, 10, 31	pm5.21nd 744	1 |- (Ord B -> (A e. B <-> suc A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  Ord word 3656  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  ordsucsssuc 3904  oalimcl 5242  omlimcl 5257  pssnn 5628  r1pw 5797  rankelpr 5819  rankelop 5820  rankxplim3 5825  bnj560 12540  bnj1001 13366  ordsucuniel 13863  tartarmap 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain