Theorem ordsuccl3 14432

Description: If a successor of A belongs to an ordinal, A is a part of the ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuccl3	|- ((B e. On /\ suc A e. B) -> A C_ B)

Proof of Theorem ordsuccl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 3667	. . . 4 |- (B e. On -> Ord B)
2		ordtr 3672	. . . 4 |- (Ord B -> Tr B)
3	1, 2	syl 12	. . 3 |- (B e. On -> Tr B)
4	3	adantr 425	. 2 |- ((B e. On /\ suc A e. B) -> Tr B)
5		ordsuccl2 14431	. 2 |- ((B e. On /\ suc A e. B) -> A e. B)
6		trss 3421	. 2 |- (Tr B -> (A e. B -> A C_ B))
7	4, 5, 6	sylc 83	1 |- ((B e. On /\ suc A e. B) -> A C_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  tartarmap 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-sn 3049  df-uni 3178  df-tr 3412  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain